Pete在機器人公司的日子
2030年夏天，Pete拿到他發誓這輩子的最後一張文憑，步出校園。在一番尋尋覓覓之後，他進入當時頗負盛名的一家機器人製造公司。
工作大致都好。身為機電工程師，他負責機器人部分的電路設計。應用所學所長，工作算是駕輕就熟。最困擾Pete的，是錢的問題。
並不是薪水不夠。每個月的薪水，公司自動扣除20%，做為退休基金。剩下的80%供Pete日常花費，完全不成問題。問題是，Pete不知道公司拿退休基金去做什麼。
他問過人事室裡那位有著慧頡大眼的小姐。”到時候你就知道了。”，她笑著說。出社會後，對錢愈來愈在意的Pete，對這樣的答案無法滿足。問遍可以問的前輩，Pete聽到一樣的回答”到時候你就知道了。”至於同期進入公司的同事，一樣一無所知。彷彿這是公司裡約定成孰的捉弄新人辦法。Pete只知道，到時候指的是尾牙那天。
在這個冬天最冷的日子裡，餐廳裡有著最沸騰的情緒，人聲鼎沸、觥籌交錯，終於到了尾牙這天。Pete試圖保持情緒穩定、思路清晰，他理性的頭腦告訴他，退休金運用，是決定公司是否值得久待的重要因素。他決定在今天就要弄個清楚。
在尾牙的最末，晚會的高潮，就是公司決定過去一年員工們的退休基金如何運用的時候。總經理走上舞台，抽起籤來了。”搞什麼?是決定大家的錢，又不是抽獎給一個人!”Pete心中暗自納悶。
“15號!”總經理拿起籤條，四方展示那白底黑字的數字。”15號什麼?”Pete想，同時看到幾個同事正把一台Chance機器人搬上舞台，那台機器人的後背上，有個大大的15。
“Chance?”這是Pete最熟悉的機型了。圓滾滾的機身，活像星際大戰裡的R2D2。它是足球機器人，可以陪任何想踢足球的人跑滿場。今天在場邊看到有30台Chance機器人，難道就是為了讓總經理抽獎?
總經理在台上迅速的解釋了員工退休金計劃。這是Pete聽過最詭異的事。員工的退休金運用有兩種選擇，一是每年固定給予本金的3%，這份收益可以納入退休本金，明年一起計息。二是，讓機器人決定。足球機器人將在舞台上進入PK模式。有個標準的足球門和12碼的距離讓Chance射門。射進了，今年的退休金收益是35%，沒進，是-15%。本金加計收益後，明年再計是+35%或是-15%。
Chance的電路設計就是Pete的工作。Pete清楚知道，Chance12碼射進的機會是50%，進或不進是電路亂數決定的，沒有人為作弊的空間。在室內無風，使用標準足球的狀況下，有非常高的準確度。可是，這是什麼鬼計畫。沒進-15%，我的退休金還要賠給公司?到底要用那個?為什麼我學的是工程數學不是財務數學?為什麼當初她說的我都沒專心聽?
“嗨!你要選那個?” Pete登時回過神來，看到一雙黑白分明的大眼正看著他。人事室小姐拿著登錄表正在逐一詢問。”你先問別人，等我一下。”Pete迅速恢復工程師的理智，拿出電路設計的邏輯精神。”萬事不過一個理字。”Pete拿出口袋中的工程用計算機。
使用基本推理，Pete很快算出，在+35%和-15%都是0.5%的機率狀況下，每年的期待報酬率是7.12%。明顯高於固定收益的3%。”我要踢足球”，Pete下了決定。
在撼動全場的”進!進!進!進!進!”的吼叫聲中，全部員工眼睛眨也不眨的看著足球直直飛進了球門。”Ya!!!”，每個人抓住了身邊的同事又吼又叫，乾杯聲不絕於耳。”這真是個有意思的公司。”Pete心想。
隔天上班，Pete有點心不在焉。+35和-15這兩個數字不斷在腦海浮現。公司裡也有些故事流傳著。聽說昨天PK後，組裝部門的老張和同事擊杯時太用力，撞破酒杯，被碎片在虎口劃了一道，去縫了五針。老張在急診室還是興奮的蹦蹦跳跳，完全不以為意。聽說老張已經累積了1000萬的退休金。”1000萬的35%是多少?”Pete決定今晚回家做些功課。
在電腦前，Pete回想尾牙當晚的思路。+35%和-15%都是0.5的機會，所以長久下來，有很大的可能+35%和-15%各出現一半的次數。以兩年為一個期間來看，這兩年的期望報酬就是1.35*0.85等於1.1475。兩年賺14.75%，相當於一年賺7.12%。當初就是這樣算出來的。
Pete算了一下，假如每個月提出1萬作為退休金，一年共12萬。選擇固定收益的3%，在30年會過後會有5,880,321的總值。在每年7.12%的收益下，30年後會有12,407,704。比固定收益的兩倍還多。
Pete簡單估算，發現在這30年間，Chance要踢進12次以下，踢足球的收益才會小於固定收益。(註:1.35^12 * 0.85^18 < 1.03^30)
Pete想到二項分布可以算出踢30次，共進幾次各別的機率。
用Excel可以算出，踢進12次以下的機會是18%，也就是踢進13次以上的機會是82%。
Pete又把期限縮短成10年來看。這十年間，假如Chance踢進次數少於4，那麼踢足球的收益就會輸固定的3%。而十年間踢進數小於4的機會是37.6%。
Pete覺得自己似乎有點明白了，為什麼常聽說用於長期目標的錢才適合放在高風險的標的。
待續….
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79 comments:
Cool!
在潛水看過律角的多篇嚴謹文章後,初次見到"新類型".挺期待的.
實在好文阿!
兩年的期望報酬是否用
1.35^2*0.25+0.85^2*0.25+1.35*0.85*0.5=1.21
來計算比較貼切呢？
peter先生 恐怕不會比較貼切
請教綠角大大：
Chance12碼射進的機會是50%，
進球則收益+35%；不進則-15%。
那麼每年收益期望值不是應該為：
35%*50%+(-15%)*50%=10%
怎麼會是7.12%呢？
能否請大大說明一下，謝謝。
Wastelander 你這種算法得到的是年報酬的算術平均數 7.12%是幾何平均 才是實際經歷的狀況 算法是 (1.35 * 0.85)^(0.5) 即可得
謝謝綠角大大的說明。
在金融投資上，由於報酬率具波動性，採用幾何平均報酬率的確是比算術平均報酬率更合理。
不過，不論是幾何平均報酬率或是算術平均報酬率，應該是建構在「期數確定」，「報酬率已知」的基礎上，才有計算的意義吧？
而文中所提例子，由於報酬率是由Chance射進12碼球的機會(率)來決定，是否應該以統計中「期望值」的計算才更合理？
就小弟個認知，樓上peterho在計算兩年的期望報酬才比較合理耶。
能否請綠角大大為小弟解惑，謝謝。
拜托!什麼7.12%,亂寫一通.連期望值都不會算!這是學生寫的文章嗎?真淺.
單年的期望值的算法如下--
1.35*0.5+0.85*0.5=1.1
双年的話,發生的組合如下--
35% & -15%
35% & 35%
-15% & -15%
-15% & 35%
二年都35%的機率是1/4,二年都-15%的機率也是1/4,其中一年35%而另一年-15%的機率是1/2.
所以双年的期望值算法如下--
1.35*1.35*0.25+0.85*0.85*0.25+1.35*0.85*0.5=1.21
還有不懂就不要亂寫,什麼是實際經歷的狀況?為什麼用1.35和0.85去看,那同時是1.35或同時是0.85的例子也有可能出現,怎麼不去算?
寫了一堆有問題的東西,人家客氣指導他,他還真以為自己才是對的,跟他虛心學習的座右銘完全不一樣.
我按了按計算機，發現版大的算法真的有問題，問題非常大，但是樓上兩位吐曹的算法一樣不適用於這個題目。（不過到底是兩位還是一位？怎麼連續Po同樣內容的文章？）
在版大的這個題目中，投入資金是分期投入的，也就是說每一年都會有一筆新的資金加入，以樓上只看兩年這個例子來看，第一年放進去的退休金會經過兩次chance，第二年放進去的的則只會受到第二年的chance影響。
假設每年投入0.5單位，兩年共投入1單位。
(35%,-15%): 0.5*1.35*0.85 + 0.5*0.85 = 0.99875
(35%,35%): 0.5*1.35*1.35 + 0.5*1.35 = 1.58625
(-15%,-15%): 0.5*0.85*0.85 + 0.5*0.85 = 0.78625
(-15%,35%): 0.5*0.85*1.35 + 0.5*1.35 = 1.24875
以上4種情形發生的機率各是0.25，所以期望值 = (0.99875 + 1.58625 + 0.78625 + 1.24875)*0.25 = 1.155
當然，這個計算乍看跟版大的每年7.12%好像差距不大，但這是因為只算兩年，如果如版大提的那樣算30年，可能會有很大的差別，例如版大文章內提到，踢進12次這個衡量有沒有多賺得最低標準，先連續踢進12年再連續槓龜18年，與先連續槓龜18年在連續踢進12年，這兩種情形一樣是踢進12次，最後累積的退休金卻是天差地遠。前面那種情形別說多賺，甚至會嚴重虧損。
上面最後一段稍作修改，我後來又review了一下，板大是寫12次以下會少賺，所以我應該舉進13次當例子。不過沒關係，結論類似，也就是說同樣30年後總共進13次，先連續進13次再連續槓龜17次、跟先連續槓龜17次再連續進13次，這兩種情形會有極大的差別，前者虧到死、後者賺到翻。
前面有二篇重覆都是我貼的,因為我不想被誤為叫'匿名',才要重新貼一次.
路人甲先生,你和版大都犯同一個錯誤,就是不瞭解機率和期望值的用法,連算法都是同樣的錯誤.
每年新加的一筆退休金並不會影響期望值的計算,你只要把每年的退休金分別獨立去看,就知道每一筆退休金每年的期望值都是10%.
還有啊,期望值是期望值,這和某特定事件發生的機率是完全不同的事,後者只是前者的一個子集,居然還混為一談!
基本知識都不懂,不要怨別人用一句'夏虫不可以語冰'來搪塞你們.
我最後一段並不是在講期望值，只是說同樣是踢進13次，不同的排列會造成最後報酬的極大差別。板大所謂的"12次以下會少賺"，這句話本身就是錯的。
板大這個問題在我看來就是某種形式的定期定額投資，週期是一年投入一筆資金，後面才投入的資金並不會受到前面已經發生的事情影響。
在我看來，你跟板大都犯了一樣的錯誤，就是把這個題目看成是單筆投資，所有的資金在第一年就投入，之後就只是年復一年的的踢球，卻沒注意到退休金是從薪水裡面提撥的，所以是逐年投入的。
路人甲先生,你中間那段期望值的算法是錯的.每年新加的一筆退休金並不會影響期望值的計算,你只要把每年的退休金分別獨立去看,就知道每一筆退休金每年的期望值都是10%.這和是不是逐年投入沒有影響.如果不懂,請回去問老師.
你的最後一段在說什麼姑且不論,中間那段算法就是亂算一通.結語既不是談期望值,何必在中間談期望值又算了一堆奇奇怪怪的數字?
還有,別說沒教你們,如果每年投入的錢都是一樣額度的話,期望值是不會受影響的.不信,你就耐心一點把連續13次的排列組合和發生的機率找出來,把它們加起來以後一定是一個數字10%,也就是期望值.
至於,你要說版大那邊有錯是可以,但是也不要拿錯誤的算法來說版大有錯,那很奇怪.
假設每年投入0.5單位，兩年共投入1單位。
為什麼路人甲先生要這樣假設?如果換成每年1單位,答案是不是又變了?為什麼用二年,如果用三年,我很想知道你們要怎麼列式子?
路人甲先生可能連我的問題都看不懂.這樣好了,你知不知道'1.35*0.5+0.85*0.5=1.1'這個計算的0.5指的是什麼?
真是吹縐一池春水....原先只是想一解自己疑惑，不意竟引來一番爭議....
其實小弟認為在追求知識的道路上，每一個人都必然存在自己的盲點和誤區，唯有不斷的學習及反思，才能成長進步。
虛心的求教及就事論事的討論，是成熟的學習態度；自滿的言論及人身攻擊的發言，只會突顯自己的無知。
綠角大大藉由此部落格闡述自己所學所思，因而提供了學習與討論的空間，這是相當難能可貴的。
能否讓我們多一些理性的討論，少一些情緒性的發言。
相信這是此部落格大多數使用者的心聲。
wastelander你說的很對,每個人都會有盲點,有的人的盲點是無法接受自己的謬誤被發現,有的人的盲點是只看到別人說話比較直接傷人,卻無視於別人研究的重點.
我同意waterlander所說.這是一個難得不商業化甚至自我吹噓膨脹的園地.請才識淵博之大大們,可以用謙和一點的語氣來給予綠角及大家糾正及相互討論.而不是語帶輕蔑鄙視之氣來比個高下.
錯了就錯了,人家說明直接一點不行哦?又不是每個人都要裝這麼假.
什麼叫謙和?版大要真的表裏如一的謙和的話,才不會那麼沒品回peter那句"peter先生 恐怕不會比較貼切".
真正的謙和會像wastelander一樣把問題點及理由說出來,而不是像版大很客氣的酸人家.
我就看不慣假來假去的假道學,不做學問,光批評人家態度怎樣又怎樣的.
文章寫錯又不是死刑,道歉改文章後又是一條好漢,要人家指導又嫌人家口氣不好,笑話!
路人甲先生,我要跟你說我的語氣太重,是我不對.我把對版大和假道學所產生的氣轉到你身上.
你的算法指的是二年累積下來的資金所可預期的總額,你寫的是對的,只是因為版大在討論年化報酬這件事,這不能直接看,所以我才說這樣不行.如果要換算成年化報酬率的話,因為這二筆資金是不同時間產生的,所以不能直接將這個總額開根號.
以每年那筆小退休金來看,每筆小退休金的年化報酬都是10%.如果像路人甲用每年是0.5單位,我們可以推算出
第二年期望值是第一筆小退休金的期望值加上第二筆小退休金的期望值--
0.5*1.1*1.1+0.5*1.1=1.155
第三年期望值是第一筆小退休金的期望值加上第二筆小退休金的期望值,再加上第三筆小退休金的期望值--
0.5*1.1*1.1*1.1+0.5*1.1*1.1+0.5*1.1=1.8205
其他以此類推.
如果每年用的是1單位,
第二年累積退休金的期望值就變成2.31
第三年累積退休金的期望值就變成3.641
其餘類推
即使算出期望值,也不保證未來就會得到這個報酬,有可能更高也有可能更低,即使期望值是正的,結果也可能縮水.就像路人甲說的排列組合順序不同,命運差很多.
怪怪，9/6的發言，10/23才被拿出來討論。
首先澄清個人沒有覺得有被綠角先生"酸"，所以不需要為個人打抱不平。
再者，在這個問題上個人的看法還是與綠角先生不同，原本提出來是希望有其他人能一起討論，不過綠角先生並沒有太多解釋，加上沒有引起任何人注意，所以就不再多說什麼。
個人的看法是部落格是偏向私人空間，不同的看法可以提出，但不至於需要強力批評，不喜歡，不看就好了。
個人不會因為一些看法不同而去否定綠角先生其它意見，還是從綠角先生這裏得到許多有用的知識。
PS.由於被綠角先生尊稱先生，為了禮貌，也回稱先生，沒有其它用意。
回應"知其一不知其二 ":
你的算法如下
双年的話,發生的組合如下--
35% & -15%
35% & 35%
-15% & -15%
-15% & 35%
二年都35%的機率是1/4,二年都-15%的機率也是1/4,其中一年35%而另一年-15%的機率是1/2.
所以双年的期望值算法如下--
1.35*1.35*0.25+0.85*0.85*0.25+1.35*0.85*0.5=1.21
--------------------
很明顯這是算術平均數的算法，綠角是用幾何平均數的算法，
(1.35*1.35 * 0.85*0.85 * 1.35*0.85 * 1.35*0.85 )^0.25 = 1.1475
與文章中提到的兩年期望報酬並無不同。我想你應該解釋一下你使用算術平均的原因為何?
"知其一不知其二"先生，很高興你終於看懂看懂我在寫啥，當然，我也有表達不清的地方，這裡要說聲抱歉。
首先我中間那段用每年0.5來表示只是為了讓兩年的這個例子中投入資金總和為1，這樣算出來的期望值就直接等於比例，要用每年1單位也行，期望值自然變兩倍，但是比例還是一樣的，如果我舉的例子不是兩年而是三年，我自然就會每年三分之一單位來算。
再來我在跟板大的計算結果作比較時，這個比較我後來覺得會造成誤會，因為我算出來的是兩年下來的總報酬率期望值，並不是是年化報酬率，跟板大的年化報酬率比較沒什麼意義。事實上對於年化報酬率，我跟你的看法一樣，是每年10%。
你後來列出來的算法，其實就是我要表達的，如果要算N年後退休金的期望值，就是把每年投入的退休金當成一個單筆，以年化報酬率10%，依每筆所歷經的年數來算期望值，第一年投入的就計算N年，第二年投入的就計算N-1年，以此類推，把每一筆都算出來最後加總，就是最後的期望值。
板大這篇我以前就看過，不過我當時只是掃過去，並沒有注意到有什麼問題，經你這次一提起，才發現他真的犯了很低級的錯誤，但我發現除了用幾何平均來算年化報酬率的期望值這個大錯誤外，板大沒有考慮到退休金定期定額投入的特性，得出"踢進13次以上會多賺"這個荒謬結論，實在也是個不煌多讓的大錯誤，板大自己在其他文章裡面也提到定期定額的觀念，在這篇文章裡面卻全然忽略實在是很離譜。
最後我得承認，我會淌這趟渾水，是因為你一開始的語氣太糟，我有點想要挫一下你的銳氣，如同"板大的語氣平和不代表他講的就全是對的"，你的語氣尖酸也不代表你講的就全對，而且對於這個blog的觀眾來說，這樣的語氣只會造成反彈，反而不能明確的讓大家體認到板大究竟錯在哪裡、怎麼錯的。
PS：另外留言版那邊，我是覺得有點流於口水戰了，根本搞不清楚在戰啥。
SJ先生,版大是搞不懂期望值的定義,你被他影響那就沒辦法.我很想直接請你回學校問老師,但我又怕會傷了你的心.為了彌補我語氣上的不禮貌,我就稍為說一下.
首先,期望值不是用算術平均或幾何平均在表達,那是和機率相關的數學.當單年的期望值算出來後,才有辦法算n年累積的期望值(我這時候用的是'幾何平均').這是二階段的東西,被版大混在一起導出很奇怪的結論(後述).
單年期望值怎麼算?我這麼說好了,如果你有二個投資，金額相同，報酬一個是+35%,一個是-15%,我們可以用算術平均求得你的平均報酬是--
(35%-15%)/2=10%
這個地方的35%和-15%是已經發生的事實,沒有任何機率問題,你的二筆投資總資金的報酬就是10%.
版大提的射門,是還沒發生還不知道結果的預算,自然會根據可能出現的結果按發生機率(剛好他又設各50%)去推算期望值.以總經理的條件,我們得到射門的期望值是--
35%*50%+(-15%)*50%=10%
這個地方的35%和-15%是確定的條件,但結果是誰卻是不確定的.即使期望值算出來是10%,真正射門的結果並不是10%,而是35%和-15%其中一個.
你可以看到求算術平均和求期望值,雖然答案都是10%,但是他們的定義不同,計算方式也不會一樣.
當你每年的期望值算出來後,你才能算累積的報酬率,就像你一定有各年的績效才能去求算術平均或幾何平均.而我用的是幾何平均去求未來n年的期望值.
以每年那筆小退休金來看,每筆小退休金的年化報酬都是10%.如果像路人甲用每年是0.5單位,我們可以推算出
第二年期望值是第一筆小退休金的期望值加上第二筆小退休金的期望值--
0.5*1.1*1.1+0.5*1.1=1.155
第三年期望值是第一筆小退休金的期望值加上第二筆小退休金的期望值,再加上第三筆小退休金的期望值--
0.5*1.1*1.1*1.1+0.5*1.1*1.1+0.5*1.1=1.8205
其他以此類推.
呵呵 沒想到這些算法那麼難懂
為了解釋 我們來看個簡單的例子
你丟銅板 我當莊家 你拿1000當本金
銅板正面 我加給你50%的錢
反面你給我50%的錢
這個+50% 和-50%都是1/2機會的遊戲
期望值直接算是多少 0
我的算法(1.5*0.5) ^(1/2) -1= -13%
你玩100次看看
這個期望值0的遊戲 你還能保有多少錢在手中
通常不用到100次 你的錢就所剩無幾
你要算丟兩次 丟三次 丟四次的期望值
Go ahead
但是-13%這個數字就是我對這個遊戲的整體觀
看來有人的觀念會覺得這個遊戲是個不虧不贏的遊戲
拜託
假如你要玩的話 找我當莊家
路人甲倒是有抓到一個重點
順序很重要
這個值得寫一篇文章再談
這點 我這篇的確是寫得太簡單了
可是 假如有人還在用期望值代表投資人會拿到的報酬
來跟我丟銅板吧!
很懂期望值
可是卻不知道該用在那裡 那裡不該用
誰沒有基本概念?
----
(版大的說法)
以兩年為一個期間來看，這兩年的期望報酬就是1.35*0.85等於1.1475。兩年賺14.75%，相當於一年賺7.12%。
選擇固定收益的3%，在30年會過後會有5,880,321的總值。在每年7.12%的收益下，30年後會有12,407,704。比固定收益的兩倍還多。
(版大的回應)
可是 假如有人還在用期望值代表投資人會拿到的報酬
來跟我丟銅板吧!
-------
版大在自相矛盾嗎?
板大舉的這個丟銅板的例子，仔細去算的話，當N很大的時候，會發現這是一個很容易虧，但是一賺會賺很大的情形（有點像在玩樂透），我是覺得有點陷阱啦！
我還是覺得用幾何平均算期望值很怪，不過還是先觀望吧！看板大有沒有更合理的解釋。
你丟銅板 我當莊家 你拿1000當本金
銅板正面 我加給你50%的錢
反面你給我50%的錢
這個+50% 和-50%都是1/2機會的遊戲
期望值直接算是多少 0
我的算法(1.5*0.5) ^(1/2) -1= -13%
你玩100次看看
這個期望值0的遊戲 你還能保有多少錢在手中
通常不用到100次 你的錢就所剩無幾
你要算丟兩次 丟三次 丟四次的期望值
Go ahead
但是-13%這個數字就是我對這個遊戲的整體觀
----
好啊!來玩!
一輪不用到100次,一輪只要玩10次,總共玩1024輪,也不用浪費時間丟銅板,寫個程式去run,累積下來的報酬結果設x.我給你(0-x)*100萬,你給我(13%+x)*100萬.
如果是-13%的話,我給你13萬,如果是0%,你給我13萬,如果是-3%,二邊相抵你須給我7萬.
也可以每輪丟個20次,run(1024^2)輪.就用10億當基數,run完的報酬一樣設x,我給你(0-x)*10億,你給我(13%+x)*10億.
每輪要玩100次也沒關係,run(1024^10)輪,基數就用(1.2E+30)這個天文數字.
不用擔心算不出來,你只要負責籌錢,我會去找grid電腦,相信海內外很多中心會跑來參與這項計算,這錢太好賺了.
記得找網友一起來看程式跑出來的結果,我要請他們吃紅.
等你.
路人甲先生,不用被虛張聲勢嚇到,要嚇別人也會嚇,版大要是敢出來當莊家,我保證讓你吃紅吃到笑呵呵.
經由綠角先生的遊戲，個人對其中幾何平均的解讀如下：
還是以綠角先生的遊戲為例，不過改成+50%和-40%都是1/2機會的遊戲，
依綠角先生的算法(1.5*0.6)^(1/2)-1=-5%，依然對莊家有利。
若是玩100次，輸贏各一半機率最大(或者說贏的期望值為50次)，所以最有可能發生的報酬情形是(1.5^50)*(0.6^50)=(1.5*0.6)^(1/2)^100。
只有一個人玩的時候，的確最有可能發生如此情形，但是如果改成一億個人來玩此一遊戲，之後再由這一億個人平分其所得，在此情形之下就如同路人甲所提的，雖然輸的機率比較高，但是贏的報酬足以彌補回來，這種玩法莊家大概笑不出來吧，這是我所認知的期望報酬。
數學上很簡單，因為輸的報酬最多只能-100%，但是贏的報酬最多卻可達 1.5^100-1，自然也會有如此機率分佈情形，因為我所認知的期望報酬只有 (1.05)^100-1。
不過這個遊戲的確說明一些投資策略的重要性，包含人的賭徒性格。
以上言論只代表自己的看法。
倒不是啥嚇到，丟銅板這個遊戲如果只跟一個人玩，然後有只以虧賺當結果論（我說的陷阱是指這個），確實虧的機會非常大，但是如果有非常非常多人要跟板大玩丟銅板，玩非常非常多次，就像你用電腦去跑那樣，丟銅板的莊家想要考慮他大概可以賺多少比例的錢的話，可能要慎重考慮夜路走多了會不會碰到鬼。
peterho怎麼這麼有默契，讓我馬上op...orz
路人甲，我post完也嚇一跳，時間與內容皆十分相近啊！
不過這是綠角先生的blog，提出了我們路人的看法，剩下的版面還是交還給綠角先生吧！
投資報酬率的計算，事實上可以有機率理論的證明。因為後一年的資金投入會受到前一年資金餘額的影響，因此會牽涉到機率論中的條件機率的運算概念。
以下不考慮每年定期定額，僅討論單1筆投資，投資期間為n年的狀況
證明如下
首先令
Y ︰第1年年初投資金額
Y1 ︰第1年年終結餘金額
Y2 ︰第2年年終結餘金額
．
．
．
Y(n-1)︰第n-1年年終結餘金額
Yn ︰第n年年終結餘金額
r1 ︰每年若為正報酬之報酬率，即 0.35
r2 ︰每年若為負報酬之報酬率，即 -0.15
p ︰每年為正報酬之機率，即 0.5
1-p ︰每年為負報酬之機率，即 0.5
第n年年終的期望結餘金額為
E[Yn]
E{E[Yn|Y(n-1)]}
=E[Y(n-1)]×(1+r1)×p+E[Y(n-1)]×(1+r2)×(1-p)
=E[Y(n-1)]×{(1+r1)×p+(1+r2)×(1-p)}
．
．
．
=E[Y1]×{(1+r1)×p+(1+r2)×(1-p)}^(n-1)
=E[Y]×{(1+r1)×p+(1+r2)×(1-p)}^n
若令
Y=1
p=0.5
r1=0.35
r2=-0.15
n=20
那麼
E[Yn]
=E[1]{(1+0.35)×0.5+(1-0.15)×(1-0.5)}^20
=1.1^20
所以20年期的年化報酬率
=(1.1^20)^(1/20)-1
=0.1
=10 %
綠角 提到...
呵呵 沒想到這些算法那麼難懂
為了解釋 我們來看個簡單的例子
你丟銅板 我當莊家 你拿1000當本金
銅板正面 我加給你50%的錢
反面你給我50%的錢
這個+50% 和-50%都是1/2機會的遊戲
期望值直接算是多少 0
我的算法(1.5*0.5) ^(1/2) -1= -13%
你玩100次看看
這個期望值0的遊戲 你還能保有多少錢在手中
通常不用到100次 你的錢就所剩無幾
你要算丟兩次 丟三次 丟四次的期望值
Go ahead
但是-13%這個數字就是我對這個遊戲的整體觀
看來有人的觀念會覺得這個遊戲是個不虧不贏的遊戲
拜託
假如你要玩的話 找我當莊家
-----
(知其一不知其二的證明)
以版大丟銅板的例子,簡單用二次來玩,每次用1元就好,會有四種可能--
1.5*1.5=2.25(扣掉原來的1元,還賺1.25元)
1.5*0.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*1.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*0.5=0.25(只剩0.25元,賠了0.75元)
這四種可能有賺有賠,結果的總和是1.25-0.25-0.25-0.75=0
丟二次是0,丟100次也是0.他對這個遊戲的整體觀是-13%,那是沒有學理根據的東西,只能說是他自創的觀點.
版大的文章,在算的時候,應該是用10%而不是7.12%去算.
只要這部分改掉,他這篇文章就沒問題了.
至於路人甲提到的輸贏順序(先連續進13次再連續槓龜17次、跟先連續槓龜17次再連續進13次),這不會是問題,不管這17次怎麼出現,結果都是一樣的.不信各位自己乘乘.
差只差在連輸個3次以後,你還敢不敢賭下去.
說了那麼多,焦點都模糊了.期望值在這篇文章,其實意義不大.\
重點在預設的報酬率與出現頻率產生的結果.以35%及-15%這二個預設值,只要進球13次就會比固定3%的好.一般人會選的原因是因為進13次以上的機率有82%.
如果我把固定收益拉到7%,會有什麼結果?
1.35^15*0.85^15=7.87
1.07^30=7.61
各位去看版大那個鍾形圖,要進15球的機率只剩一半.而且了不起才和7%固定收益差不多.這時候你還會選擇射門嗎?
固定收益7%的不難找,光用貨幣做配置就很好用了,何必去射門呢?更何況贏跟輸真的是35%和-15%嗎?看清楚吧!
呵 我文章中用來算預期報酬的數字，是報酬率乘以機率後算出來的嗎?是某些人在回應中暢議的”正確算法”，連高中生都應該知道的期望值算法?還是報酬相乘然後開根號算出來的數值。我的說法，前後一貫，就是用幾何平均。那有什麼矛盾?
有人提議玩這個遊戲
“一輪不用到100次,一輪只要玩10次,總共玩1024輪,也不用浪費時間丟銅板,寫個程式去run,累積下來的報酬結果設x.我給你(0-x)*100萬,你給我(13%+x)*100萬.如果是-13%的話,我給你13萬,如果是0%,你給我13萬,如果是-3%,二邊相抵你須給我7萬.”
這個遊戲是說銅板正+50%，銅板反-50%，用程式模擬擲10240次銅板後的報酬率嗎?丟一萬多次銅板，報酬率很接近-100%了。有人還覺得設定13%就會賺? .
”我給你(0-x)*100萬,你給我(13%+x)*100萬”。這些算式是在做什麼?在設計連動債嗎?結果-3%我還要給你七萬?你也知道這個+50/-50的遊戲是不公平的，造成虧損的可能性很大。為什麼要把簡單的遊戲概念複雜化?錯誤觀念包裝後就會變對的東西嗎?還是我對你的遊戲誤解了，可以解釋清楚些嗎?報酬率-20%的話，”我給你20萬，你給我-7萬”，到底誰要給誰多少啊?
我覺得 還是丟銅板 正面加50% 反面減50%的遊戲簡單可愛多了 期望值大師 反正這個遊戲很公平 期望值是零 對莊家賭客一視同仁 我當莊家 你就陪我玩一下 如何? 不然 拜託回答一下 照你的看法 這到底是不是一個公平的遊戲?
拜託 我要是把10%改成7.21% 那我這篇的這個運算就錯了
就和以為丟銅板 +50/-50 期望值是零一樣 以為它是個公平的遊戲一樣
我這個簡單的例子
路人甲馬上看出問題在那裡
有人還一直說自己的對
假如你不願意動腦筋想
沒有人說得動你
路人甲說的順序問題 只要你在過程中有投入金錢 就會存在
你還說不是問題
不敢玩吧?什麼複雜化?我不但陪你玩,我還加碼玩.如果結果是-13%,你還可以多賺紅利,多好!
你這麼肯定-13%這個值,怎麼會怕當莊家?加碼你賺更多,怎麼不敢玩?說穿了就是你的算法出問題嘛!
假如你不願意動腦筋想
沒有人說得動你
---
這句話應該送給你自己.等你敢當莊家的時候,你就會把7.12%改成10%了.
還有如果是-20%的話,以10次一輪的那種,你總共會拿到27萬.不怕你不來拿,就怕你知道自己算錯不敢說也不敢來.
我覺得 還是丟銅板 正面加50% 反面減50%的遊戲簡單
---
我就是玩這個,你當莊家我加碼.就來玩啊!電腦跑下去就知道結果.你如果不喜歡用電腦的話,我雇幾個臨時工來丟銅板也可以.
期望值是0,丟玩我不賺不賠,可是我從加碼賺的錢不但可以付工錢,還可以請網友吃飯分紅.
(知其一不知其二的證明)
以版大丟銅板的例子,簡單用二次來玩,每次用1元就好,會有四種可能--
1.5*1.5=2.25(扣掉原來的1元,還賺1.25元)
1.5*0.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*1.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*0.5=0.25(只剩0.25元,賠了0.75元)
這四種可能有賺有賠,結果的總和是1.25-0.25-0.25-0.75=0
丟二次是0,丟100次也是0.他對這個遊戲的整體觀是-13%,那是沒有學理根據的東西,只能說是他自創的觀點.
綠角說,
只知其一先生
我問你 丟兩次 你只有1/4 的機會賺錢 但是有3/4的機會賠錢 你是在算什麼東西 這個遊戲只要你玩得夠多夠久 你的錢幾乎一定會輸光 你這個觀點 真是有趣啊
我不知道你為什麼那麼怨恨綠角 不過你的氣應該也出夠了吧?
你一直說電腦跑下去就知道結果 你自己到底有沒有跑過啊 你一定會輸的啊
明知一定會賠錢還要玩 只有兩個可能 好玩或逞氣鬥狠 這些都已經不是理智在運作了 我也不太喜歡跟不用理智的人討論
好吧!我很理智的請你當莊家,請所有網友來當丟銅板的人,就玩你的遊戲,賭注再如我說的加碼.
寫個程式很簡單,我避嫌另請五個人來寫,如果他們的語法都對,每個人都可以分到十分之一的加碼津貼.用五個人的程式去run再求平均,夠公平了.
穩贏的莊家不敢做?你的-13%還可以多賺13萬.誇口要做莊的人可別又用很客氣的語氣龜縮了.
找人丟和找人寫程式都可以,等你.
無聊 要比狠是不是 我當然敢玩 怎麼 你在等我說不敢玩 所以我的算法是錯的嗎? 你加碼要賺什麼錢啊? 還加碼津貼？沒有人會站在你那邊的 這個遊戲大家都要當莊家 道理說不過別人就這樣 還自以為對 你真的會被自己害死 你繼續研究你的期望值吧
還有我說我是個老粗,說話口無遮攔,你錯了就是錯了,沒什麼怨氣不怨氣,你也不用轉移話題.
7.12%改成10%,你的文章一樣成立,因為影響你結論的因素不是這個.
各位直接把這部分拿掉,直接從35%和-15%那邊跳到踢進13次那邊,文章一樣很連貫.
路人甲那個,只要次數夠,順序不是問題.數學式的乘除是可以換位置的,這你總會吧!
1.35連乘13次再與0.85連乘17次的值是3.12
0.85連乘17次次再與1.35連乘13的值也是3.12
是進球次數在影響結果.
其實你要表達的觀念很簡單,分散投資標的長期投資就可以分散風險又可以達到合理報酬.
不用為了寫故事加一堆有問題的料.
謝謝 我喜歡你用理智的口吻所說的建議
但是 7.12%要是改成10% 就錯了
恐怕 還是你錯
時間地點約一約吧!還有錢帶著免得事後不認帳.
以版大丟銅板的例子,簡單用二次來玩,每次用1元就好,會有四種可能--
1.5*1.5=2.25(扣掉原來的1元,還賺1.25元)
1.5*0.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*1.5=0.75(只剩0.75元,賠了0.25元)
0.5*0.5=0.25(只剩0.25元,賠了0.75元)
這四種可能有賺有賠,結果的總和是1.25-0.25-0.25-0.75=0
---
各位是不是以為贏的機率只有1/4,輸的機率是3/4,去玩穩輸?
沒關係,你們就用一輪丟二次去試,試個100輪就好,看看統計下來賺賠的結果是不是很接近0.
一輪丟二次如此,一輪丟100次也是一樣,只是那個輪數要很大.
如果各位當莊家沒有賺到錢還要加碼付給賭客,真的有人想當莊家?
我說話不如別人漂亮,只能說,不要被表象給欺騙了.
輸贏機率的大小不是決定賺賠的惟一條件.peterho和路人甲都參透到一件事,是贏的時候能贏多,輸的時候要輸少,這樣子輸多贏少的話,還是會賺錢.
就像丟銅板每輪二次,輸的機率是贏的三倍,真的玩的夠多次,結果不會輸很慘,而是打平而已.
版大想引導各位的不過就一句話長期投資很好用.如果他的機器人不射門改射飛鏢會怎麼樣?
總經理在尾牙前臨時換方法,改拿出一個飛鏢盤,有三個區域,射中甲區退休金收益為30%,小中乙區為5%,射中丙區為-23.75%.
這個機器人內定射中甲區的機率是15%,射中乙區機率65%,射中丙區機率20%.
機率 收益
15% 30%
65% 5%
20% -23.75%
這時候,有誰會用版大的算法來算出他對這個遊戲的整體觀?如果我沒猜錯的話,應該會有人算出1.7%的值.照這個值來看是不是不如固定3%收益的好?
可是,你會不會從收益和機率的表看起來心很癢,因為單單收益5%的機率就65%,遠比固定3%好.
然後收益30%的和-23.75%的機率又差不多.版大的後面說各50%的只要踢進13次就會贏固定3%的,現在射飛鏢的贏率80%,輸率才20%,一定會贏啊.可是怎麼照他的算法才算出1.7%,比固定3%收益還差?
那到底要射飛鏢的1.7%還是拿固定3%的,誰比較好呢?
再換一組數據,
機率 收益
20% 25%
60% 6%
20% -25%
贏率還是80%,而且最容易中的收益已經加碼成固定3%收益的2倍.
有人可能有辦法悟出版大的整體觀算出每年的期待報酬率是2.2%,低於固定收益的3%
這樣還要不要射飛鏢呢?
版大,這不是一句'恐怕還是你錯'就能夠掩飾你的問題.'小'問題為了面子不改,越說越圓不回來,何必呢?
看到路人甲出來，忍不住也一起來"路人"一下。
事實上，我比較想玩的是，
贏了拿回100倍，輸了只拿回1/100，機會都是1/2的遊戲，
綠角先生的算法是(100*0.01)^(1/2)-1=0，
不論要玩幾次皆可，只能有一個人玩也無妨啊!
路人甲,認同你的想法,我的確是以單筆在看.實際上我當初會回應,也不單是因為期望值.長期投資就沒問題嗎?鍾形圖的左邊都沒人,可能嗎?不管每年的期望值是7.12%還是10%,這些員工的退休金有82%的機率比固定收益好,但是也有18%的機率比它差.pete的公司有可能就玩到那18%去.這對那些員工來說是0與1,才不是18%與82%.特別是那些已經輸5次以上的,他怎麼敢玩下去?
每次pk都是獨立事件,該不會有人天真到以為前面輸17次了,後面就可以連贏13次吧?
實際的市場才不是50%輸贏,那是不懂趨勢的人的做法.奉勸投資人真正要投資如果只這樣玩會慘兮兮.
不然,各位以為版大為何要在後面幾篇繼續討論同一筆錢在同一個時間點仍要分散投資標的?因為每個人都怕落到鍾形圖的左邊,所以把投資分散出去,所以每個人的不同投資都會平均散落在鍾形圖的每個地方,長期分散投資的結果會與算出來的期望值接近.
peterho先生,幾個人玩都可以,用版大那50%/-50%也可以,只要丟的輪迴夠多,最後都是不賺不賠.這是為何我要加碼,因為那樣我能賺到錢.但版大說我會賠,我也不知道他在想什麼.
我所說的輪迴其實就是版大在下一篇所說的分散投資.只要輪迴夠多/投資夠分散,我們的結果都會落到期望值附近.(但不表示期望值可以亂算)
多了這一個關鍵,我可以打包票說單筆或分期投資都不用害怕(路人甲先生,這麼解釋你應該會理解我直接跳到結論的理由了).
知其一不知其二先生，如同您的例子，我的例子只是在利用幾何平均的特性舉一個簡單例子而已。
試想一個 X 倍與 1/X 倍機率 1/2 的遊戲，依綠角先生的算法是期望報酬為 0 的結果，而不論玩幾次，最後發生贏或輸的情形機率也都是 1/2。
但是輸了，最多也只輸本金，但贏了，可以有全世界了，在這個簡單的遊戲下，如果有人願意當莊家，我會很高興的。
個人覺得路人的角色扮演夠了，不需要在別人的 blog 上造成其他人的不悅，也沒必要讓所有人有相同看法，所以不再就此爭議(？)發表言論。
不曉得為什麼 本來看似很溫和的討論
知其一不知其二先生突然發狂 還撂狠話 跟人家輸贏 蠻幼稚的 還是國中生嗎 要烙郎嗎?
我覺得 重點是這個BLOG的理念 就算技術上有瑕疵又如何
講到這種地步 知先生 我看你也就別來了
IQ高 你可能說對了 EQ低 卻是丟臉到極點
我想，有人誤會了綠角先生說的丟銅板的玩法，他的玩法是每玩一輪完，無論結果是+50%還是-50%，你得到的本利和全數作本金玩下一輪，這種玩法的平均增長率是用幾何平均的方式求的。
而peterho提到的玩法是，每一輪完成後，不論是+50%還是-50%，得到的本利和全數歸自己，下一輪再重新以最初的本金玩，這種玩法，期望回報率是以算術平均的方式求的。
大家可自行以Excel試試以上兩種不同玩法的分別。
我想這次引起問題的原因大家對算術平均的應用與幾何平均的應用有所混淆所致，亦有對字眼上的執著，認為只要使用"期望值"這個字眼就必定是算術平均。
只知其一不知其二先生
丟兩次銅板 1/4賺錢的機會似乎讓你還有希望
我們就來分析丟400次銅板的結果
有EXCEL的朋友 歡迎跟著算一次
規則一樣
正面 +50%的報酬 反面-50%的報酬
我們分析丟400次銅板的可能結果
首先 簡單算一下 你就會發現
這400次中 正面至少要大於等於253次 你才會開始有賺
正面次數一旦小於253 即開始虧錢
運用二項分布函數Binomdist 可以很快算出
從0次正面 到400次正面的機率
然後 我們把正面253次 254次 255次 一直到正面400次的機會相加
結果是 0.00000006466
這個數字
就是你投400次銅板後賺錢的機會
你賺大錢的機會 就在小數點後七個零的後面
說白一點 叫做一億分之6.466
莊家有0.999999935338賺錢的機會
這就是這個期望值為零的遊戲的結果
為什麼期望值明明是零 還會玩成這樣
你想通了嗎?
我一直想不通 為什麼還有人要約我當莊家
我可以給你機會反悔
To 綠角兄:
你是錯的喔（如果我沒誤會這個遊戲的話）。
雖然表象上你的勝率極高，但當他樂透到的時候，獲利可以把大量的虧損都補起來。
（零勝三敗-他會賠875 機率1/8
一勝兩敗-他會賠625 機率3/8
兩勝一敗-他會賺125 機率3/8
三勝零敗-他會賺2375 機率1/8）
這個因為勝率50%，用二項式分配去算就很清楚，長期期望值0。
再往上算的話
4負0勝 -948 (1/16)
3負1勝 -813 (4/16)
2負2勝 -448 (6/16)
3勝1負 +687 (4/16)
4勝0負 +4062 (1/16)
這時似乎對綠角兄稍有利（我有去尾數 所以會有點誤差）
我懶得繼續往上算了 有興趣的可以去跑蒙地卡羅 會比較清楚
有趣的數學問題,初值a=1 (單筆投入),
每次操作, 50% a=0.5a, 50% a=1.5a,
反覆操作後,a>1為賺, a<=1為賠,
敝人有閒,實地演算後,賠的機會為
2次: 3/4
3次: 4/8
5次: 20/32
6次: 47/64
7次: 105/128
那個說話比我還粗的某乙先生,既然知道技術上有瑕疵,小改一下就好了,何必越圓越遠.至於你說的那些無聊的閒言閒語,恐怕是你錯了.
excel先生,如果你不懂期望值的定義,我真的很禮貌請你可以回去問老師,不然你請老師來看這篇文章和討論也可以.
為什麼我說版大和那些執著於輸贏機率的人太淺?因為這些人很明顯缺少投資實戰經驗,沒見過大風大浪,不然就是長期下來投資報酬率很低,最起碼你們連放空的概念都很陌生,紙上談兵的居多.
peterho先生說輸了,最多也只輸本金,但贏了,可以有全世界了.這種才是超脫表象,真正取得投資精髓的人.連這個都體會不到的,恐怕只能吃小餅.
丟銅板我算過一輪二次的,maxwell算過一輪三次和四次的,有心研究的可以算更高次的,就會發現二個可證明但版大只說前一半的事實--
一個是賠的輪數一定大於等於贏的輪數.
一個是所有輪數的結果累計,賠的錢=賺的錢.
為什麼版大在續篇裡要分散投資,因為他也知道即使勝率有82%,30年後的結果還是可能輸給固定3%(因為不幸落在18%之間).
如果說某些看版的人資質太淺被矇蔽就算了,版大飽讀群書的人礙於面子,小改不修越圓越遠,可惜.
回應"知其一先生"
你說:
輸了,最多也只輸本金,但贏了,可以有全世界了.這種才是超脫表象,真正取得投資精髓的人.連這個都體會不到的,恐怕只能吃小餅.
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我想這不是投資，而是在賭博，樂透彩和即將發行的運動彩券應該很適合你，加油!!祝你成為億萬富翁。
反覆操作後,a>1為賺, a<=1為賠,
敝人有閒,實地演算後,賠的機會為
2次: 3/4
3次: 4/8
5次: 20/32
6次: 47/64
7次: 105/128
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匿名先生,你算出來的也是半個事實,另一半的事實是--
2次: 輸3次賠的錢=贏1次賺的錢
3次: 輸4次賠的錢=贏4次賺的錢
5次: 輸20次賠的錢=贏12次賺的錢
6次: 輸47次賠的錢=贏17次賺的錢
7次: 輸105次賠的錢=贏13次賺的錢
只要輪迴夠多,不管每輪幾次都一樣能證明出輸的錢和賺的錢打平.
即使每輪400次,輪迴玩的夠-
莊家0.999999935338贏率累計賺的錢=玩家0.00000006466贏率累計賺的錢.
這另一半的事實是版大還沒參透(不敢承認?)的地方,連這個東西都還沒參透,表示說的一口流利而沒實戰能力,老手一眼就看破.
各位想想嘛!退休金30年後就要領的,每輪算30次就夠了,版大何必越算越多次,從每輪100次跳到400次,他只不過想用一半的事實所產生的數字嚇唬不懂的人.
sj先生,樂透彩是精算過期望值是負的東西,只有看不清楚的人才會去玩.
版大提的是期望值0的遊戲,比樂透彩公平多了,下注結果這部分我不賺不賠,但是只要他敢玩我說的加碼,那我賺翻了.
就算他要用每輪400次的也可以,因為他要賠的天文數字可以讓我買下全球所有產業.你以為他為何要把每輪的次數越加越多?就是因為他怕次數太少,普通電腦就算得出來,那時候有一堆人要找他做莊.其實管每輪幾千次,這種東西用數學邏輯推導就可以證明,連電腦都不用啦!
那位用數學邏輯證明的先生,都可以一起來分紅.
我只能說,不要被表象騙了.
版大這篇其實問題不大,把7.12%拿掉都不會影響他的結論.可是他的續篇要改的部分就比較多了.為什麼?
因為同樣的預定報酬和機率,算出來的期望值並不會因輪迴數的增加而改變,可是他因為誤算而做了錯誤的推論,這比較麻煩,文章結構會整個出包.
我一直想不通 為什麼還有人要約我當莊家
我可以給你機會反悔
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時間地點約一約吧!還有錢帶著免得事後不認帳.帶什麼錢?加碼那部分的錢.
用每輪30次那種就好了,反正勝率也不過1成.
用10億當基數就好(照理該用1兆,這樣太為難版大了),run完1073741824個輪迴.
累積的報酬如果是-13%的話,我給你新台幣1億3千萬現金.
如果累積的報酬是和期望值一樣是0的話,你給我新台幣1億3千萬現金.
其他的也都照原加碼規則,到時候請網友來分大紅包.
(要先寫好新台幣,免得版大用某非洲不知名小國的幣別,幾千萬非洲某國幣只能換1元新台幣的話,這樣大家虧大了,連油錢都不夠)
等你敢當莊家帶錢來的時候,我答應你以後我會用你的錢來塞我的嘴,不會再來看你的'小'問題.
挖賽 知先生
原來是見過大風大浪 還會放空的大師阿
那肯定是賺不少錢了
能不能公開帳戶以昭公信阿 print screen 貼出來也可以
約人家賭 要人家把錢準備好 你是不是也要有點錢
不要跟我說 你是窮鬼一個 還要約人家賭 那你所說的都將不成立
peterho 也說過啦 他並沒有覺得被"酸"過 不曉得你是在發什麼神經 亂咬人
知其一不知其二 提到...
拜托!什麼7.12%,亂寫一通.連期望值都不會算!這是學生寫的文章嗎?真淺.
==============================
這是第一篇出來吠的文 挑釁意味濃厚
你在真實世界也是這樣講話嗎
那你一定是個討厭鬼
我不曉得你們誰對 但是知先生肯定是來找碴的
躲在暗處很久了 好不容易看到獵物 就衝出來咬了?
通常這種愛叫囂的金融從業人員都是窮鬼
講的多會賺多厲害 結果窮到快被鬼拖去
我遇到很多個了 還1億3千萬勒
我有一億多 我還在這跟你囉唆什麼 作多放空賺死了 我管你這個Blog推長期投資賠到死
綠角不要跟他賭 贏了你也拿不到錢
綠角大早
借用您這私人園地一點空間.說一個故事.
話說英國王子 威廉在艦艇上受預備軍官訓,一日教官發覺 威廉王子怎麼走路怪怪的,不知道是腳還是屁股有問題,教官也不做聲持續觀察.後來發現是威廉的同學欺侮,踢他的屁股.爾且是過半數的同學都這樣做．
於是教官就集合大家,詢問那些踢屁股的同學為何要欺負威廉王子．一開始沒人敢承認,直到後來有一位同學小聲的說：
”因為....以後可以跟兒子說！！ 兒呀！電視上的這國王,我可是踢過他的屁股呀”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
最後這爭論能否平息,再將精力拉回財經知識的探討,讓我們這群金融外行人,能有個學習的園地,可得靠綠角大的智慧了!
PS:忘了提,雖然在這血腥的討論中也學到:
1.幾何平均,算數平均,期望值這些概念是重要且易攪混的．
2.分散投資到相關性低的資產上可降低波動（標準差）．
總之從此BLOG的無私分享中,一直有所學習,感恩綠角大的熱心（由其還大費周張的編寫故事）．所以一定要說 加油！加油！
只想那些還未真正明白綠角先生說的丟銅板玩法的朋友看一下、試一下。
現在模擬玩一次，用10000元：
第一輪 - 本:10000，獲利:+50%， 本利和：15000=(10000*1.5)
第二輪 - 本:15000，獲利:+50%， 本利和：22500=(15000*1.5)
第三輪 - 本:22500，獲利:+50%， 本利和：33750=(22500*1.5)
第四輪 - 本:33750，獲利:+50%， 本利和：50625=(33750*1.5)
第五輪 - 本:50625，獲利:+50%， 本利和：75937.5=(50625*1.5)
第六輪 - 本:75937.5，獲利:-50%， 本利和：37968.75=(75937.5*0.5)
第七輪 - 本:37968.75，獲利:-50%， 本利和：18984.38=(37968.75*0.5)
第八輪 - 本:18984.38，獲利:-50%， 本利和：9492.188=(18984.38*0.5)
第九輪 - 本:9492.188，獲利:-50%， 本利和：4746.094=(9492.188*0.5)
第十輪 - 本:4746.094，獲利:-50%， 本利和：2373.047=(4746.094*0.5)
你說是賺還是賠？
+50%和-50%的次序對結果沒有關係，對結果有關係的只是+50%和-50%出現的次數，但因為機率為各自一半，所以+50%和-50%出現次數的期望值都是5次(玩10次的話)
有Excel的朋友可以自行試一試，次數可自行增加，用Excel的話輕輕一拉就可以了，不需超級電腦的。
其他不講了，因為不肯弄明白的始終不肯弄明白。
希望綠角先生不要再花精力去回應這些明顯過火的討論了，很希望你可花精力再為我們寫更多有用的文章。
我數學不好 但又愛投資
但如果一支股票明天漲跌停機率各半
(假設明天收盤只能漲停或跌停)
我是不會用今天收盤價去買
除非漲停幅度改為大於7.52688%而且跌停仍維持7%
所以版主做莊丟銅板我是絕不參加
這些回文 多到版主都不想看了
那位讀者還會想看?
幾百名讀者中 只有幾個參與論戰的會看吧
我最後再說一點
這個遊戲
你是只玩一次 還是很多次
你就要不同的觀點去看
有人抓到要義了
有人還是不懂
不懂的請自己想
我不是老師 沒有義務把你教到會
不懂還要指正別人
嗯…..
這篇文章 將停止讀者回應
我要用這一段文字，為這個算法做出最後的說明。大家都知道，看過去的報酬率，可以用算術平均和幾何平均來看。看過去可以，那為什麼看未來報酬沒有幾何平均?什麼叫預期算術平均報酬，什麼叫預期幾何平均報酬?假如你只知道前面一個東西(剛好是大家都學過的期望值)，卻不知道後面這個東西的存在，其實你根本沒資格參加”討論”。
假如，讀者對預期幾何報酬還想要有深入一點的瞭解，我推薦這篇網路文章Multi-period Returns
http://www.stanford.edu/~wfsharpe/mia/rr/mia_rr3.htm#compounded
作者是諾貝爾經濟獎得主William Sharpe，文中有深入淺出的介紹，可以將讀者的概念從傳統的期望值帶到幾何平均，而且例子相當類似。不要被英文和裡面的算式嚇到，文中都是很基本的東西。至少把第一個段落看完 相信你對這個”爭論”會有不一樣的看法 (ps早就有這個概念的人 看法應該還是一樣)
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