投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)

標準差是最常用來衡量資產波動性的數值。一個投資組合由不同資產組成,各資產有自己的標準差,要如何從各組成份子的標準差算出投資組合的標準差呢?這就和計算投資組合的預期報酬的方法完全不同了。

用比重加權平均算出的標準差平均,只有在各資產相關係數為+1時是投資組合的標準差。投資組合的標準差算式有點複雜,由Markowitz推導而得。(想看詳細推導過程的朋友,可以找Harry Markowitz在Journal of Finance, March 1952 page 77-91 “Portfolio Selection”這篇文章。)



SDport是投資組合的標準差(Standard deviation of portfolio)
Wi表某資產在投資組合中所佔比重
SDi表某資產的標準差
COV ij 表ij這兩個資產間的共變異數

還是舉例來看比較清楚。

假設有A、B兩個資產,它們的預期報酬都是10%,標準差都是10%。它們組成了一個投資組合,在這個組合中,它們占的比重都是50%。以下表描述

所以這個投資組合的預期報酬是10%*0.5+10%*0.5=10%。

我們先看第1個情況,假設A、B兩資產報酬的相關係數是1,來算投資組合的標準差。

我們知道共變異數等於相關係數乘以兩者的標準差。

所以COVab(A、B兩資產的共變異數)=1*0.1*0.1=0.01

對於兩個資產組成的投資組合,它的標準差公式是:



Wa: A資產所佔比重
Wb: B資產所佔比重
SDa: A資產的標準差
SDb: B資產的標準差

所以SDport^2= 0.5^2*0.1^2 + 0.5^2*0.1^2 +2*0.5*0.5*0.01
=0.01
所以SDport=0.1,在第1個情況,AB兩者相關係數為1時,投資組合的標準差也是10%。

那我們可以假設各種不同狀況,來算投資組合的標準差。

可以看到,隨著A和B資產的相關係數愈來愈小,投資組合的標準差也愈來愈小。假如把波動性視為風險的話,就也可以說,風險愈來愈小。

但值得住意的是,不論AB間的相關係數為何,該投資組合的預期報酬都還是10%。所以重點就是,把相關程度低的資產拿來組合,並不會影響期望報酬,但會減少風險。

Markowitz推導出來的公式,明白表示,投資組合整體的標準差,不是單由個資產的標準差決定的,各資產間的相關性也占有重要的角色。其實當投資組合組成的資產愈多,相關性的份量會比各自的標準差重要。這就是為什麼,要加入或減少一個資產時,要看它對整體配置的影響,而不是只看該資產自己的期望報酬和標準差。


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6 comments:

匿名 提到...

發現了這篇舊文章,
有問題想請教綠角大大~ ^^
就是A、B兩種資產的預期報酬是指對"未來"一段時間(可能是未來一年)的預期報酬,
但是標準差卻是以A、B兩種資產過去一段時間(可能是過去5年)的每年實際報酬與這5年平均報酬的偏離程度計算出來的,
這樣把過去的風險套用在未來的預期報酬上,
不是很奇怪嗎?
ex: 過去平均報酬為10%,但是未來的預期報酬我卻預測有50%...
還是說其實未來的預期報酬是內定等於過去的平均報酬?

WLDTW2008 提到...

Dear 綠角大,

您的這個公式跟原版公式不太相同
http://www.gacetafinanciera.com/TEORIARIESGO/MPS.pdf (Page81)

應該最後前後項會結合成
SDport^2 = Sum(Wi x Wj x COVij) i=1~n , j=1~n

匿名 提到...

你好厲害...

sss 提到...

綠角你好
我想請問標準差指出的是不是比較像是波動,波動跟風險在感受上還是有一定的差異
這就延伸到資產配置的意義,真的一去不復返的感覺才能叫做風險,而在長期投資當中,波動終將弭平,
這樣保有債券的資產配置,是不是就不及全股市部位了呢?
(因為既然擇時的不可能,在最好的時候再平衡也為不可能)

綠角 提到...

我相信在2008年底和2009年初
敢說"長期投資,波動終將弭平"的人
應該沒幾個

當時恐怕也不會有人說"有債券的資產配置不如100%投入股市"

波動不是風險
但基本上
它已經抓到風險大部分的意義

郭芷晴 提到...

想請問若有五項要做投資組合,要如何計算投資組合標準差呢