什麼是年金?談簡單年金。(Annuity)

年金,指的是一個現金流。這個現金流,固定一段時間就會支付一筆錢。這段時間的單位,不一定是年。譬如,每月繳交的房子貸款,就是一筆年金。每月交的保險費,也是一筆年金。政府每個月發給低收入戶的補助,是年金。保險公司付出的年金險給付,也是年金。

年金是一個明白體現金錢的時間價值的概念,很多金融計算,包括貸款、保費、退休計劃,都會牽涉到年金。是個值得掌握的觀念。

這篇文章,談最基本的年金運算。

假設有一筆年金,每期支付1塊,都在期末支付,共n期。

假設每期利率為i,我們可以來計算這筆年金的終值S和現值A。

我們先看終值S。終值就是說,在最後一期,也就是第n期,最後一筆錢支付出去的當下,這個現金流,這個年金值多少錢?

我們知道,在最後一筆年金付出去的時候,最後一筆年金那一塊錢,就是當下的一塊錢,所以價值就是1。前一期付出的一塊錢,就不只一塊錢的價值,必需乘上利率(1+i)。再更前面一期的一塊錢,則是值(1+i)^2。以此類推,第一期付出的一塊錢,值(1+i)^(n-1)。

所以年金終值S= 1+ (1+i) + (1+i)^2 + (1+i)^3 + …… + (1+i)^(n-1)

以等比級數公式可算出,S= ((1+i)^n-1)/i。

這是一塊錢的年金終值。假如每期是100塊,就把S乘以100即可。

再來看年金現值A。現值就是,這筆年金,在第一期期初時,這筆年金的價值。

這時候,第一期期末才要付的一塊錢,現在的價值不到一塊錢,要除以利率(1+i),所以第一筆一塊錢的現值是1/(1+i)。同理,第二期的一塊錢,現值是1/(1+i)^2,一直到第n期的一塊錢,現值是1/(1+i)^n。

為了書寫方便,我們新定義一個數值v,v=1/(1+i)。

所以現值的加總,可以寫成A= v+ v^2 + v^3 + ….. + v^n。

以等比級數公式可算出,A= (1-v^n)/i。

理論算式畢竟比較無聊,還是看實際運用。

假設有個零存整付儲蓄計劃,某人打算每個月存10,000元,銀行提供年利率3%,為期24個月,請問最後可以拿回多少錢?

這個每月存,我們先假設都是每個月月底存。年利率3%,所以月利率是0.25%。

最後可以拿多少錢,就是年金終值。

套上公式 S= 10,000 * (1.0025^24-1)/0.0025,計算得終值是247028。

這樣其實有點麻煩。我們也可以用EXCEL直接算。

請按fx鈕,選”財務”裡的”fv”函數。

第一欄rate是每期利率,輸入0.0025。第二欄Nper是付款期數,輸入24。第三欄Pmt是每期付款金額,輸入10,000。然後按確定。OK,算出來了。相當簡單。不過請注意,最後一個欄位Type表期初或期末付款。沒有輸入或0,表示期末付款。1表示期初付款。算年金,一定要弄清楚期初還是期末付款。

再來算一個,每月投資3000,每月有0.8%的報酬,請問20年後終值多少。這個問題大家應該比較有興趣。假設你是每個月的月底投入。那麼答案是2,163,393元。其實,小錢也是能累積出大錢的。代價是,風險。

最後一個例子。某人現在開始退休。他存有一千萬的退休金,預計退休金的投資組合每年有3%的收益,請問,他可以每年年末提多少錢,連續提用20年,剛好把退休金用完。

這個問題要換一個角度想。這位退休人士,每年年末提錢,所以就是一筆年金。這一千萬就是年金現值,年金年利率是3%,維持20期,求每期可提多少錢。

可以直接用公式,10,000,000= X * (1-(1/1.03)^20)/0.03,解X=672157。

或是用EXCEL,選PMT函數。第一欄rate是每期利率,輸入0.03。第二欄Nper是付款期數,輸入20。第三欄Pv是年金現值,輸入10,000,000。然後按確定。會算出一樣的答案。

假如你要計畫退休投資計畫,和退休後每月可以用多少錢,這些計算是必要的。


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