標準差怎麼算

在看基金報酬率時,常會看到年報酬率的標準差(Standard deviation)。這篇以實例解說,標準差的算法:

假設某基金過去五年的年報酬率分別是
17%
22%
15%
-5%
5%

第一步要先算出平均報酬(算術平均)
平均等於 (17+22+15+ (-5)+5) /5 = 10.8

然後算出每年的報酬與平均之間的差(deviation)

然後算出deviation的兩次方的值

將deviation squared加總然後除以4(ps 要除以n-1),就得到年報酬的變異數(Variance)

Variance= (38.44+125.44+17.64+249.64+33.64)/4= 116.2

標準差就是變異數開根號= 10.78

以標準差來衡量波動風險會有一些問題。第一,投資報酬的機率分布常不是常態分布(normal distribution),而是比較近似對數常態分布(lognormal distribution)。

還有,標準差會讓人用對稱的眼光看平均值兩旁的事件,而事實上報酬率的機率分布還有偏態(skew)和峰度(kurtosis)的現象,這和常態分布的skewness和kurtosis皆為零是不同的。

重點就是,標準差不是一個完美的衡量風險的數值。因此有的人提議用semivariance或是其他的一些數值來衡量波動。但目前,標準差還是一個被廣泛接受的數值。


回到首頁:請按這裡

初來乍到:請看”如何使用本部落格

相關文章:
共變異數與相關係數(Covariance and Correlation Coefficient of Financial Assets)

投資組合的預期報酬(Expected Return of Portfolio)

投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)

資產比重對投資組合報酬及標準差的影響

資產配置的提升報酬效果(Diversifiable and Nondiversifiable Volatility)

什麼是追蹤誤差?(Tracking Error and Tracking Difference)

11 comments:

史林特師父 提到...

請問為何要除以n-1,而不是除n ?

朱古力男爵 提到...

在計算樣本標準差之前, 樣本平均數必須要先已知, 而在已知樣本平均數下, 可以任意變動的樣本個數只剩下n-1個, 在考慮自由度之樣本標準差下, 分母除以自由度n-1。

綠角 提到...

感謝男爵詳細的解說

令人懷疑
男爵是不是手邊就有一本統計課本
或者 男爵本身就是一本統計課本?

綠角 提到...

希望留言的讀者朋友
你至少要知道尊重別人
不然你就不會得到對你應有的尊重

煌棋 隋 提到...

可能是我才疏學淺,朱古力男爵的解釋
我所認知的有些不同:

母體標準差與樣本標準差為何分母是n與n-1
的論少有統計學書籍可以完整的解釋這項"定義",而多數認為兩者的差異是由實驗數據去做分析後,再進而調整n,由母體標準差,再定義出樣本標準差,而實驗數據中,當樣本數超過某一定量時,將捨棄母體標準差,改由樣本標準差計算.
而一般的統計幾乎都超過定量(說法多種,但絕不超過20且大於4),進而在EXCEL中的函數也採用樣本標準差,這是幾十年前在外國就採用的方法.

我也無法確定,以上言論希望是成激盪討論,並無否定任何的論點正確與否,當有人可以告知我其他的論點時,我相當高興.

CHHsieh 提到...

樣本變異數的公式要除以n或除以n-1其實各有優缺點

除以n-1的話, 則樣本變異數的公式會是母體變異數的不偏估計量, 但其Mean square error 卻較大

除以n的話, 則樣本變異數的公式不會是母體變異數的不偏估計量, 但其Mean square error 卻較小

所以看使用者覺的不偏估計比較重要, 還是Mean square error小一點比較重要

只能說隨君喜好吧 :p

或可參見 http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_square_error

綠角 提到...

感謝分享

C.C. 提到...

可不可以請教一下綠角大大 or 版上的統計高手,為什麼 『年標準差 = 月標準差 * 12^0.5 』
知道公式證明嗎?還是在那裡可以找到?

Charlie & Kylie 提到...

請問一下綠角兄,假設有2個投資標的(A、B),年化報酬率都是10%,A的年化標準差為10、B為20。那麼,B的風險一定比較高...

我的問題是,到底高了多少?可以用實際的數值說明嗎??

因為看您的書籍中一直提到標準差的數值,想要弄懂,不過網路上找到的資料大部分都只說「風險比較大」這種模糊的字眼,先謝謝綠角兄囉~

綠角 提到...

用EXCEL自己實驗一下就知道了

Louis Chou 提到...

➗n-1是為了讓E(xbar)也就是樣本平均數=mu
統計學上稱為不偏估計量
by 統計系學生