共變異數與相關係數(Covariance and Correlation Coefficient of Financial Assets)

要評估兩個資產(assets)報酬率的相關性時,就需要計算它們的共變異數和相關係數。

舉例來說,有A和B兩個資產,過去六個月的報酬率分別是


由過去六個月的報酬,可以算出A的平均月報酬是2.17%,B是2.15%(算術平均數)。但可以明顯看出A和B不是齊漲齊跌的。有時候會有一個上揚,另一個卻虧損(第五個月份)。共變異數(Covariance)量測的是,這兩者的月報酬向同一方向偏離各自平均報酬的程度。它的公式為

Cov= 1/(n-1) * Sum i=1 to n (Rai-Raave)*(Rbi-Rbave)

Rai 代表A資產各月份的報酬率
Rbi 代表B資產各月份的報酬率
Raave 表A 資產的平均報酬率
Rbave 表B資產的平均報酬率

就是將A、B兩者每個月的報酬率和平均報酬率的差相乘,然後除以5。(ps因為是用歷史報酬,要除以n-1)

然後將118.29除以5,等於23.66,這就是A、B兩者的共變異數(Covariance)。

在計算過程中可以發現,假如AB兩者某個月的報酬都是同時高於平均或同時低於平均,這樣兩者報酬率和平均報酬率的差相乘後會得到一個正數,會讓共變異數的數值變大。假如AB兩者某月份報酬,一個高過平均,一個低於平均,那麼兩者報酬率與平均的差相乘會得到一個負數,會減小共變異數的數值,或使其成為負數。

但問題來了,AB兩資產報酬的共變異數23.66,這樣兩者的報酬率相關性到底如何呢?假如兩者的報酬率都是穩定的,這樣23.66會代表比較高的相關程度,假如兩者波動性都很大,那麼共變異數23.66其實代表的相關程度不高。為了解決這個問題,我們可以把共變異數除以AB兩者報酬率的標準差,就會得到相關係數(Correlation coefficient)。

Correlation coefficient = Cov / (SDa*SDb)

Cov表AB的共變異數
SDa 為A的標準差
SDb 為B的標準差

用Excel算出A的標準差是7.96,B的標準差為4.53。兩者的相關係數等於23.66/(7.96*4.53)=0.66。

相關係數會是一個介於-1到+1間的值。+1代表兩者完全正相關,-1表完全負相關。在資產配置理論裡,相關程度愈低的資產,將發揮愈大的”互補”功效。


回到首頁:請按這裡

初來乍到:請看”如何使用本部落格

相關文章:
標準差怎麼算

投資組合的預期報酬(Expected Return of Portfolio)

投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)

資產比重對投資組合報酬及標準差的影響

資產配置的提升報酬效果(Diversifiable and Nondiversifiable Volatility)

從一則健康新聞談起(Correlation does NOT mean causation)

22 comments:

S.J 提到...

Excel中有一個函數:correl
可以直接計算兩筆數列的相關系數,還蠻好用的。

綠角 提到...

謝謝分享 的確用EXCEL會好算很多

YF 提到...

版大,關於『Pete在機器人公司的日子』的報酬率計算,應該是10%,我在該文下有貼一篇證明,如果您有興趣的話,我們可以再討論,我的mail︰yfjeng@so-net.net.tw

WK 提到...

兩支基金, 要算CORRELATION COEFFICIENT可以用EXCEL的CORREL函數, 但是3支基金呢?

綠角 提到...

譬如有A,B,C三支基金
那麼AB間有個相關係數
BC間有一個
AC間也有一個
共有三個相關係數

WK 提到...

謝謝回答...但我的意思是以ABC三基金構成的投資組合, 其標準差是多少...是該考量ABC三者間的相關係數吧?這相關係數應該是只有一個嗎?

WK 提到...

啊..再看一次公式...我想我瞭了...
是不是如此算呢? abc三基金的CC應該是

Wa2*SDa+Wb2*SDb2+Wc2*SDc2+WaWbCOVab+WbWcCOVbc+WaWcCOVac
(2指的是平方)

綠角 提到...

可以參考投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)
一文

你的第二個回應中
應是由三基金組成的投資組合的SD
不是三基金的CC
還有第一個SDa 沒有平方

Ivan 提到...

可否請綠角幫我解釋所有關於CAPM的概念,這與bata似乎脫離度了關係.Thx

綠角 提到...

CAPM幾乎可以在所有基本財金教科書找到相關論述

冠翔 提到...

各位板上的大大好:

小弟到各指數公司上下載了各式各樣的指數來做相關性分析,用指數的日報酬率來計算,但是遇到一個問題就是有些日子A指數有報價,但B指數無報價,造成相同的時間區間裡有報價的日數卻不一樣,有的指數報價的天數較多,有的較少,但相關系數的計算不就是要兩者個日期和價格變動幅度要互相對應才準嗎?請問該如何解決?
EX.A指數 2010/10/1 報價100
2010/10/2 報價101 +1%
2010/10/3 報價99 -2%
B指數 2010/10/1 報價50
2010/10/3 報價51 +2%
小弟目前想到的解決方法是把A指數多出來的那伊天2010/10/2 -1%的資料刪除掉,就只計算AB都有的2010/10/1和10/3的價格變動:

A指數 2010/10/1 報價100
2010/10/3 報價99 -1%
B指數 2010/10/1 報價50
2010/10/3 報價51 +2%
這樣計算起來的相關係數會準確反應兩者的相關性嗎?還是會疏忽掉什麼?請板上各位大大指教^^

綠角 提到...

這問題有幾個解法

第一個是放棄日報酬相關性
改算週報酬或月報酬的相關性
缺點是 這可能不是你原先想要研究的目的

另一個方法是
儘量用同一家指數公司的指數來進行比較
比較不會有缺日子的狀況發生

冠翔 提到...

感謝綠角大的指點

1.改用周報酬或月報酬是個很好的解決方法,我會改用月報酬來測試看看,謝謝^^

2.講到指數公司,我發現只有Dow Jones對一般大眾比較友善,可以很簡單下載到全部的日報酬指數歷史資料,但是他的指數沒有國外股票型的,都是美國股票或REIT;其他像S&P,MSCI或DB都是資料不全,有的只提供月報酬或較近日期的資料,不知道各位前輩知道哪裡可以下載到完整的各指數公司歷史資料嗎?

P.S.小弟現在找各國的指數資料檔都到該國的交易所直接找比較快,像印度和俄羅斯都很容易就找到了,而中國和巴西都沒有提供,如果有需要的網友可以參考看看

綠角 提到...

我覺得MSCI的股市指數還蠻完整的
也很方便下載

匿名 提到...

在試算表直接輸入=correl(A1:A6,B1:B6)不是更快嗎?

綠角 提到...

我一直覺得
人腦還是比電腦聰明

有時不是快不快的問題
而是知不知道自己在算什麼

AK 提到...

绿角大大,想请教您~
如果没有2个基金的历史净资产值的记录,但却分别有它们2个的平均回酬率、标准差及beta值,请问是否能计算到以这2个作为 组合的相关系数?
感激不尽~

匿名 提到...

除以n-1 原因應該是因為自由度吧?

匿名 提到...

感謝分享

綠角 提到...

不客氣

匿名 提到...

綠角,請原諒我的魯鈍, 我在MSCI.com找半天,實在找不到如何下載,可否給一兩個link方便找到下載頁面? 感謝

匿名 提到...

如果a報酬率只有3年,b則為5年,計算時是否只求3年呢?