債券的存續期間—Macaulay Duration

由”影響債券價格的因素”一文可以知道,到期時間愈長的債券,其價格對利率變化愈敏感。所以當其他條件都相同時,一張20年到期的債券和一張5年到期的債券,面對利率上升時,前者的價格跌幅較大。我們也知道票面利率愈低的債券,其價格對利率變化愈敏感。所以當其他條件一樣,一張票面利率5%和一張票面利率9%的債券,面對利率上升時,前者的價格下跌較多。但假如債券同時有兩個條件不同呢?

譬如一張5年期,票面利率5%的債券和一張10年期,票面利率7%的債券,面臨利率上升時,何者的價格下跌較多呢?似乎就不容易比較了。

所以金融界發展出存續期間(Duration)的概念,用來衡量債券價格對利率變化的敏感度。這篇介紹1938年即由Frederick Macaulay發展出的Macaulay duration。

存續期間衡量某張債券的持有人平均在多少時間後可以拿回債券的配息和本金。比方說某債券讓你在一年後拿回50元,兩年後拿回50元,所以你拿回這些錢的平均時間是(1*50 + 2*50)/100=1.5年。1.5年就是這個債券的存續時間。不過這樣說明是幫助瞭解初步概念,有點過於簡化。

Macaulay的債券存續時間用的平均是加權平均。每個支付的利息和本金都有一個加權值,而這個權值等於該利息或本金的現值占債券現值的比例。來看一個例子,某債券票面金額10,000,票面利率4%,三年後到期,現在的殖利率是5%。

債券的利息和本金支付如下

再算出各利息和本金現值所占債券現值的百分比

這個百分比就是該利息或本金支付的時間所應乘上的權重,譬如1年支付的利息占現值的3.916%,所以它的加權時間就是1年乘以0.03916=0.03916年,以此類推:

加權時間的總合0.03916+0.0746+2.7705=2.88年,這就是這張債券在5%的殖利率下的Macaulay duration。

看起來有點複雜。不過其實用Excel的話,也不難算。知道方法之後,有興趣的朋友可以算算看同一張債券在8%的殖利率下,它的存續時間會變怎樣。還有零息債券的存續時間是多少。

Macaulay duration有以下特性:
1. 零息債券的存續時間與其到期時間相等。
2. 支付利息的債券(Coupon bond)其存續時間永遠會小於它的到期時間。
3. 票面利率愈低,存續時間愈長。
4. 一般來說,債券的到期時間愈長,存續時間愈長。但低票面利率債券,在高利率環境下(譬如票面利率3%,殖利率15%),其存續時間有可能隨到期時間的拉長而減短。
5. 到期殖利率(YTM)愈高,債券的存續時間愈短。

後記:我其實有點存疑是否要寫這樣的文章。因為財經文章的讀者數量與文內的數學算式數量成反比。一張債券的分析,從現值的計算,用到等比級數開始,之後就愈來愈複雜。要算債券的曲率(Convexity),就要用到微積分。不過,這些算式才是表象的根本。知道了之後,對整個概念就可以有更深入的掌握。


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52 comments:

糯小圆 提到...

十分感谢啦^_____^*
我是一个在德国读Bank的学生。上课听教授讲Duration,一直没太搞懂其真正意思,只是知道怎么算。现在看了您的文章,彻底明白了,对我的Seminar也很有帮助。谢谢。多写这样的有用的好文章!加油!

綠角 提到...

Ha, einer Freund aus Deutschland. Herzlich Willkommen!
謝謝你的鼓勵 有空多來

Spongebob 提到...

Gerne~

Cory 提到...

great job and it really helps me for the understanding of the concept of duration a lot

cheers and by the way , i am studying finance in the exeter, UK

Robert 提到...

謝謝分享

綠角 提到...

Cory
Thanks for your comments. Maybe next time you can share some academic perspective with us.

Robert 不客氣

哇哈哈哈~ 提到...

很感謝您提供這樣的文章,讓我更了解其中的意義與計算方式,希望以後也仍有這麼精彩的文章可以看

绿角 提到...

難得遇到會覺得這種Duration計算文章”很精采”的投資朋友
謝謝你的鼓勵

hilihist 提到...

我個人認為綠角的部落格中的"計算與驗證"皆非常的精采!每每讓我感到受益良多~~

绿角 提到...

hilihist 感謝你的支持啦!

匿名 提到...

您好~
先感恩您在這方面專業的文章令人獲益匪淺
只是不曉得是我觀念錯誤還是怎樣~
在本文中一開始的部份
"在其他條件相同下,年期越長的對利率的變動越敏感",在此情況之下,接著的"利率上升時",五年到期的債券應該比20年到期的債券來的抗跌才是?
不曉得是我想錯了還是...?
盼望解惑
感恩

綠角 提到...

不好意思 我看不懂您說的是那個部份
能否再說明一下

Chang 提到...

duration 中文雖然叫存續期間, 但是實際上並沒有單位, 就是一個指標
基本觀念可以如文所提, 是本金收回的期間衡量, 但就duration的數學來看, d=5 就是5, 不是5年, 所以實務上通常說d值, 而不說 幾年

這個觀念, 對散戶沒什麼實用性, 因為散戶很少操作債券現貨,講到convexity 那就更沒用處了

BTW,我實在弄不清楚 為何年紀輕輕的投資人,要建立債券基金部位, 尤其是目前的海外債券, 說實話都很不便宜

綠角 提到...

Chang感謝您的寶貴意見
不過我看到的資料
存續期間都是有單位的 就是時間單位 通常是年

存續期間
不管你懂或不懂它的數學原則
它一定會運作 影響你的投資
更有趣的是
不是債券才有Duration
一個投資組合也可以有Duration

Duration的基本定義,
平均多少時間拿回本金和利息
意即 “打平”

我個人覺得這是財金學裡
最有味道的一塊
與其說Duration對一般散戶沒什麼意義
倒不如說 願意花時間花精力
去瞭解Duration在投資的意義的散戶
很少

其實讓你心情為之一變的計算這篇文章的背後道理就是Duration
以比較簡單的方法表示出來罷了

或許之後 我還會再寫些類似觀念的文章

匿名 提到...

谢谢啦

綠角 提到...

不客氣

匿名 提到...

我看過的幾乎每一篇都有推, 這篇尤其寫的好.

原來我一直不懂 duration 和債券兩個條件變動有甚麼關係. 現在我終於明白了. 雖然主要原因是我太懶了, 但是真的非常感謝!

綠角 提到...

謝謝匿名先生的熱情支持

匿名 提到...

thank you so much for giving such a detailed explanation. i was really confused about the duration at, but now i got it through your excellent example ! thanks

綠角 提到...

Thanks for your support.

匿名 提到...

腦袋有點打結
可否請教一下
為何YTM越高,債券存續期間會越短呢?

myKER 提到...

很少在網路回饋意見,但是讀了您的文章對於"存續期間"真的進一步有了解(雖然我是財經系畢業),加油,我想文章的讀者和文章的數學式出現數確實是成反比,但是對於深度的讀者而言會在感激您的用心.謝謝

綠角 提到...

感謝myKER的分享與支持

匿名 提到...

版主好功力,可以把複雜的概念解釋的這麼明白. 但是 可以順便解釋一下 "有效存續期間 的概念嗎" 和收益價差的調整嗎 ?

謝謝

Queenie

綠角 提到...

謝謝支持
Effective duration?
相關資料應該蠻多的吧

匿名 提到...

simple and easy to understand, btw, you are a teacher or some finance person?tks a lot。

綠角 提到...

You're welcome.

匿名 提到...

謝謝你~這次我又有從你這兒得到幫助了~

綠角 提到...

不客氣.也謝謝你的支持

absolute ChihHsin! SuSAn! 提到...

票面利率愈高 存續期間愈短 這邊怎麼理解

我有看到解釋說: 票面利率愈高,代表每期收到的利息愈多,投成本回收速度愈快,所以存續期間愈短。 但票面利率愈高,不就是CFt (分子)愈大嗎?

匿名 提到...

謝謝你的文章
讓我在深夜看貨幣銀行學看不懂時找到救星!!

綠角 提到...

不客氣
謝謝你的支持

Zhou 提到...

谢谢,真是我的的救星,我在国外学习Finance,大部头的教科书头都看大了,还没弄明白,看了你的文章短短几分钟就理解了,真是太感谢您了

綠角 提到...

謝謝支持
您真是過獎了

提到...

請問綠角大大:
如果其他條件都一樣,20年到期的曲度不是比5年的曲度大==>降息時增加幅度大,升息時減少的幅度小 , 那為什麼在另一篇文章的數據是相反的呢

綠角 提到...

請問是那一個另一篇文章呢

提到...

請問綠角大大:
如果其他條件都一樣,20年到期的曲度不是比5年的曲度大==>降息時增加幅度大,升息時減少的幅度小 , 那為什麼在另一篇文章的數據是相反的呢(影響債卷價格的因素-- 同樣的升息幅度,但到期時間長的債卷其價格變動的幅度較大)

綠角 提到...

一個是在講曲度
一個是在講Duration

大白菜 提到...

绿角大人,我刚接触这类课题,找到你的这篇文章,对我是个很好的入门!

现在我有一个逆向的问题:已知债卷的Duration,怎么求Maturity呢?我知道有一个公式通过Maturity求 Duration,但反过来就比较麻烦了。。。

因为我目前在做 Bond Portfolio Immunization 的课题,有一篇Paper提到这个问题:一投资人设定自己的Target为100.000美元,5年Duration,当时的Market Yield为6%,且设定债卷半年付息,Market Yield每半年下降0.1%。他需要持有74.409美元(也就是100.000在6%下的现值)通过买卖债息为7%不同Maturity的债卷来达到Target。
文中写道,7%债息,半年付息,6年Maturity,Duration为5.029年,如果投资人需要Duration为5年,那么第一个半年他应该买几年到期的债卷呢?文中提通过interpolation,可得到Maturity为5,96年(我想是5*6/5,029)。可是,接下来的9个半年,如果按这个方法算,根本就是和文章里的数值不一样的。

不知绿角大人有否高见?我快抓破头皮了。。。

Unknown 提到...

可否請教一下
為何YTM越高,債券存續期間會越短呢?

gnehcks 提到...

以綠角大的3年債券為例,相同的條件下,若改變YTM成20%,則你會發現:

年度, 折20%, 佔現值%, Duration
[1], 347.83, 4.63%, 0.0464
[2], 302.46, 4.04%, 0.0808
[3], 6838.17, 91.32%, 2.7395
總合 7488.46, 100%, 2.867yrs

當YTM變大,會發現1,2年的佔現值比例增加,而第3年變小,所以加權起來因第3年的比例減少了,當然duration 的total權重就變小一點(2.867 years)

綠角 提到...

感謝gnehcks的幫忙~

匿名 提到...

謝謝綠角,雖然我也是財金系的學生,但很多的觀念都還沒有您清楚。
這些對於金融資產背後性質的了解,是很重要的問題,這也是真正的金融強者和一般散戶的不同。

綠角 提到...

謝謝支持
真是過獎了~

Edward 提到...

謝謝,我是香港的大學生
書本上Duration的解釋都看不明白
這篇的解釋清楚得多了

綠角 提到...

Edward
謝謝支持

多靠大家的點閱
這篇文章才能在Duration的搜尋結果中排在前面

Edward 提到...

你好,我再看這篇文章,發現這一句我看不懂。

「比方說某債券讓你在一年後拿回50元,兩年後拿回50元,所以你拿回這些錢的平均時間是(1*50 + 2*50)/100=1.5年。1.5年就是這個債券的存續時間。」

拿回一百元的時間是兩年,但請問拿回一百元的平均時間是什麼意思呢?

weikang lee 提到...

不好意思冒昧請教一下
為什麼在低票面利率 高殖利率的情況存續期間反而會因為到期日的拉長而變小呢?
今天才看到這篇精彩的文章真是惋惜!!

CY 提到...

第一年已經拿回50元,到第二年再把剩下的50元拿回,感覺上說2年也沒那麼久,因為第一年就已拿回一半,所以用duration就能算出較真實的拿回期間,即1.5年。

謝謝你問的這個,發現這問題才是這篇文章的精髓

綠角 提到...

謝謝CY
你抓到重點了~

均賢 提到...

我正在英國讀財金碩士
您的部落格解說得很清楚,受教了!

綠角 提到...

均賢
謝謝您的留言鼓勵~