投資組合的預期報酬(Expected Return of Portfolio)
一個投資組合由不同的資產(assets)組成，每個資產會有自己的期望報酬。整個資產組合的期望報酬，就是各別資產的期望報酬乘以該資產所佔比重所得的加權平均。以下舉一個例子:
假設某投資組合由A、B、C三資產組成
所以這個投資組合的期望報酬就等於1+2.4+5=8.4%。Simple and easy。難的地方在於對於個別資產未來報酬的預估。這種算式是會Garbage in , garbage out的。
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要評估兩個資產(assets)報酬率的相關性時，就需要計算它們的共變異數和相關係數。
舉例來說，有A和B兩個資產，過去六個月的報酬率分別是
由過去六個月的報酬，可以算出A的平均月報酬是2.17%，B是2.15%(算術平均數)。但可以明顯看出A和B不是齊漲齊跌的。有時候會有一個上揚，另一個卻虧損(第五個月份)。共變異數(Covariance)量測的是，這兩者的月報酬向同一方向偏離各自平均報酬的程度。它的公式為
Cov= 1/(n-1) * Sum i=1 to n (Rai-Raave)*(Rbi-Rbave)
Rai 代表A資產各月份的報酬率
Rbi 代表B資產各月份的報酬率
Raave 表A 資產的平均報酬率
Rbave 表B資產的平均報酬率
就是將A、B兩者每個月的報酬率和平均報酬率的差相乘，然後除以5。(ps因為是用歷史報酬，要除以n-1)
然後將118.29除以5，等於23.66，這就是A、B兩者的共變異數(Covariance)。
在計算過程中可以發現，假如AB兩者某個月的報酬都是同時高於平均或同時低於平均，這樣兩者報酬率和平均報酬率的差相乘後會得到一個正數，會讓共變異數的數值變大。假如AB兩者某月份報酬，一個高過平均，一個低於平均，那麼兩者報酬率與平均的差相乘會得到一個負數，會減小共變異數的數值，或使其成為負數。
但問題來了，AB兩資產報酬的共變異數23.66，這樣兩者的報酬率相關性到底如何呢?假如兩者的報酬率都是穩定的，這樣23.66會代表比較高的相關程度，假如兩者波動性都很大，那麼共變異數23.66其實代表的相關程度不高。為了解決這個問題，我們可以把共變異數除以AB兩者報酬率的標準差，就會得到相關係數(Correlation coefficient)。
Correlation coefficient = Cov / (SDa*SDb)
Cov表AB的共變異數
SDa 為A的標準差
SDb 為B的標準差
用Excel算出A的標準差是7.96，B的標準差為4.53。兩者的相關係數等於23.66/(7.96*4.53)=0.66。
相關係數會是一個介於-1到+1間的值。+1代表兩者完全正相關，-1表完全負相關。在資產配置理論裡，相關程度愈低的資產，將發揮愈大的”互補”功效。
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在看基金報酬率時，常會看到年報酬率的標準差(Standard deviation)。這篇以實例解說，標準差的算法:
假設某基金過去五年的年報酬率分別是
17%
22%
15%
-5%
5%
第一步要先算出平均報酬(算術平均)
平均等於 (17+22+15+ (-5)+5) /5 = 10.8
然後算出每年的報酬與平均之間的差(deviation)
然後算出deviation的兩次方的值
將deviation squared加總然後除以4(ps 要除以n-1)，就得到年報酬的變異數(Variance)
Variance= (38.44+125.44+17.64+249.64+33.64)/4= 116.2
標準差就是變異數開根號= 10.78
以標準差來衡量波動風險會有一些問題。第一，投資報酬的機率分布常不是常態分布(normal distribution)，而是比較近似對數常態分布(lognormal distribution)。
還有，標準差會讓人用對稱的眼光看平均值兩旁的事件，而事實上報酬率的機率分布還有偏態(skew)和峰度(kurtosis)的現象，這和常態分布的skewness和kurtosis皆為零是不同的。
重點就是，標準差不是一個完美的衡量風險的數值。因此有的人提議用semivariance或是其他的一些數值來衡量波動。但目前，標準差還是一個被廣泛接受的數值。
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