債券的彎曲度—續2(Bond Convexity)

這篇介紹債券曲率的實際運算方法。

英文定義:
Convexity is the second derivative of price with respect to yield(d^2P/di^2)divided by price.

中文定義:
債券曲率是價格對殖利率的兩次微分再除以價格。

(慘了,會不會有讀者開始覺得為什麼明明是中文卻看不懂。)

債券價格是日後所有現金流(Cash Flow,簡寫CF)折現後的加總。在某時間(t)的現金流,簡寫為CFt。殖利率簡寫為i。

債券價格Price


債券價格對殖利率的兩次微分:
Price對i兩次微分


所以債券曲率就是最後那行算式得到的數字,再除以債券價格。

我們以債券的彎曲度—續1(Bond Convexity)文中的債券A為例,看表中的曲率123.42是如何算出來的。

首先,分成A、B、C、D、E五個欄位,分別寫入各別年度(Year,t)、該年領到的錢(CFt)、該金額在到期殖利率下,折現後的現值、與t^2+t、還有現值與(t^2+t)相乘後的結果。如下表。這在EXCEL都是很簡單的運算。

最後算一項1/(1+i)^2=1/(1+0.0498)^2=0.90738

最後即可算出該債券的曲率等於17872乘以0.90738除以131.39,等於123.42。

決定債券曲率的因素和決定債券存續期間(Duration)的要素一樣,且作用方向相同。這三個要素分別是票面利率(Coupon rate)、到期時間(Maturity)與到期殖利率(Yield to Maturity)。

票面利率愈低,債券曲率愈大。兩者呈反向關係。
到期時間愈長,債券曲率愈大。兩者呈正向關係。
到期殖利率愈高、債券曲率愈小。兩者呈反向關係。

點一下,推一下:


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16 comments:

micyang 提到...

真的有點深度!

綠角 提到...

還好啦
自己算一次 就不會覺得複雜了

morgan0630 提到...

照您這個例子,為何會得到票面利率越低,債券曲率越大這個結論呢?
明明在這個例子中,A債券的票面利率高,但曲率卻比債券B大...

綠角 提到...

債券AB不是只有票面利率不同

Looker 提到...

綠角大哥,可以請問 ~
你知道
美國各主要債券(或公債)報價可以從哪裡查看
就是..有提供不同期限的 殖利率,價格..資料,能從美國哪個網站或入口查詢嗎,我不知道關鍵字要打些什麼才找的到,國內好多理財的網站資料都不完全,甚至沒債券相關報價資料,
謝謝><

綠角 提到...

華爾街日報可以查到
詳細查閱方法
請見海外券商債券交易(Buying Bonds through Online Brokerage Service)一文

匿名 提到...

最后一个公式应该是-t次方,不应该是t次方,绿角你再看看?
是个笔误,因为你后面还是用-t来算的

綠角 提到...

感謝匿名朋友的提醒
的確是寫錯了
已經改正

再次謝謝你的指正

Ronald 提到...

我猜一般投資人不需要計算這個數值。一方面是債券配置金額不夠多,二來計算成本也不小。

其實對一般人來說,需要知道的恐怕是
(1) 需要配置債券嗎? Yes
(2) 需配置多少? (請看綠角大文章)
(3) 該買那種債券還是債券基金/ETF?差別在哪裡?
(4) 怎麼選擇特定的標的?如何比較標的優劣?

(3),(4) 恐怕是比較關鍵的部分。我不是請綠角兄報明牌,而是希望站長能分享選擇的方法。這樣對讀者的幫助可能更大。

綠角 提到...

Excel拿出來
花點時間 就算出來了

很多事 自己做一遍之後就會簡單多了

Gary 提到...

債卷評價跟公司評價還真有點像呢

Ronald 提到...

其實是有點困難的。而且似乎不是Excel 的問題。

譬如我目前的資產配置打算加入美國的債券。目前考慮 BND, BSV 與 AGG.

從報酬率chart來看,BND 幾乎與AGG一樣,但好像略低一點。然而費用是 BND比AGG 少0.1%.

再者 BND 與 BSV 相較,後者是1-5yr 短期債券組合。前者則是短中期為主搭配少量長期債券。若參考智慧型資產配置的建議,選擇五年期債券較好,則似乎 BSV 較好。但看一下報酬率又似乎是 BND 比較好。

在這裡,該如何選,老實說我很困惑。可能綠角兄是直接建立債券階梯,所以沒有這個問題。

ffaarr 提到...

ronald:

我覺得你拿不同天期配置的etf的來比「報酬率」,這是你的思考陷入困境的主要原因。不同天期的債券,合理的長期報酬率當然不同。(短期波動大小也會不同)但同樣的受到利率風險的影響也不同。你要作的是根據自己的整體配置相應期望的長期報酬率(不要去看過去報酬,而是要去查到期殖利率),去選適合自己的天期的債券,選定之後,再就同樣天期的標的來從費用、交易量等優缺點選定標的。而不是拿報酬率來比高下。

綠角 提到...

感謝ffaarr正中核心的說明

Ronald 提到...

感謝ffaarr兄說明。

因為債券ETF基本上可能都有主動配置的精神在內,所以不同ETF的確無法直接比較。除非是完全相同類型的債券ETF (如與AGG一樣追蹤同樣指數的債券ETF)。

但其實就一個投資人來說,在比較相同標的的費率/交易量大小/績效之前,可能還要先考慮那類型標的比較適合這個問題。譬如若買進 Vanguard 的 bond ETF, 該買 BSV or BND, 就是一個需要先思量的問題。

BND 是以短中期債券為主的組合,BSV則都是 5年期以下的短債組合。從資產配置的觀點來看,不知該選則哪類才好?(從資產總值與交易量來看 BND 大過 BSV。)

是該從債券本身要做組合?還是純就資產的配置來看債券類型與股票的相關係數誰低?

智慧型資產配置理得分析雖說短債比起長債,與股票的相關係數更低,但並沒有比較長中短皆有的債券組合是否與股票的相關係數更低。

像這樣面臨資訊不足的情形時,可否請教諸位大大是如何考慮怎麼配置的呢?還是說反正差別不大,閉著眼睛選一個都不匯差到哪裡去?

匿名 提到...

我也希望站長有空能分享選擇債券etf的詳細評估過程.EX:先前提問的iei/ite間的選擇

先回答自認能回答的部分,有錯請大家指正:

1."從純就資產的配置來看債券類型與股票的相關係數誰低"的重要性大於"債券本身要做組合",畢竟我們的最大目標是股債間的資產配置

2.既然你提到:"智慧型資產配置理得分析雖說短債比起長債,與股票的相關係數更低"

那麼,"短債"相較於"長中短皆有的債券組合",就會與股票的相關係數更低。

waiting