綠角財經筆記: 如何由債券殖利率算出理論即期利率(How to Compute Theoretical Spot Rates from Bond Yields)

如何由債券殖利率算出理論即期利率(How to Compute Theoretical Spot Rates from Bond Yields)

本文解釋如何從債券的到期殖利率推導出理論即期利率。

我們知道，債券的到期殖利率，就是持有這張債券所獲得的內部報酬率(Internal Rate of Return，簡寫為IRR)。內部報酬率，簡單的說，就是讓這項投資的現金流的淨現值(Net Present Value)為零的折現率(相關討論可見內部投資報酬率概念(Internal Rate of Return)一文)。

為了計算方便，我們看個假想例子。(圖片皆可點擊放大觀看)

假設上表是六個月、一年與一年半到期的美國公債在某天的殖利率。我們知道，到期期限一年以下的美國國庫券，其實是一種票面利率零的零息債券。(詳細解說可見美國公債-T bill一文)。也就是說，這些到期期限一年以下的國庫券的到期殖利率(Yield to maturity)就是該年期的即期利率(Spot rate)。

譬如一年期的國庫券的到期殖利率是2%，那就代表市場上，現在投入美國公債，一年後才拿回的資金，可以拿到2%的年利率。

所以用美國公債殖利率推導一年期以下的即期利率，其實相當簡單。但現在問題來了，現在投入美國公債，然後1.5年才收回的錢(中間都不拿任何配息)，它的即期利率是多少?

是1.5年公債的到期殖利率3%嗎?不是。因為超過一年期的美國公債會有每半年的配息。這個3%代表的是未來三次現金流，也就是這張債券在半年後的配息，一年後的配息與一年半之後的歸還的配息加本金，這三次金流的折現率。

要知道美國公債市場在1.5年的即期利率，需要一點計算。我們計算的目標是要推導出，假如現在有一張1.5年後到期的美國零息公債，這張公債的到期殖利率會是多少。知道了零息公債的到期殖利率，就知道即期利率了。

這張1.5年後到期的債券未來將有三次現金流。假設票面價1000，那這三次金流的時間與金額如下: (票面利率是5%)

這張債券目前的價格是1029.1。按照標準債券價格計算方法，用3%的到期殖利率進行折現，就可以驗證這個數字。如下表:

將現值加總，便可得1029.1。

我們也可將這三次金流，想像成三張零息債券。這三張零息債券分別在0.5年、1年與1.5年後到期。(這是這個計算的核心概念)

一張1.5年後到期，中間配發出25、25與1025塊金流的美國公債，與分別在0.5年、1年與1.5年後到期，到期價值分別是25、25與1025的三張美國零息公債，在意義上是相同的。既然有相同的意義，它們的價格也應該一樣。1029.1就是這三張美國零息公債的價值加總。

我們是否知道半年後到期，期滿給付25塊的零息債券現值多少呢?沒有問題，我們已經知道半年的即期利率，那就是1%。我們是否知道一年後到期，期滿給付25塊的零息債券現值多少呢?。也沒有問題，我們也知道一年的即期利率是2%。唯一的未知，就是一年半的即期利率，就是我們要計算的目標。

所以1029.1=半年期零息債券現值+1年期零息債券現值+1.5年期零息債券現值
=25/(1+0.5%) +25/(1+1%)^2 +1025/(1+X)^3

解X等於1.517%，年化(乘以2)即可得即期利率為3.03%。有了1.5年的即期利率後，便可繼續算出2年、2.5年等更長期限的即期利率。

在這假想狀況下，美國公債市場的到期殖利率與即期利率分別如下表。

有了各年期的即期利率後，就可畫出即期利率曲線(Spot rate curve)。

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