內部投資報酬率概念(Internal Rate of Return)

今天有一個投資計畫,可以用2000塊買一台機器。這台機器生產的產品,每年都可以賣450塊錢,連續五年,然後機器就會報銷了,先不考慮風險,那麼這項投資的報酬率如何呢?

OK。我們可以很簡單的算,投資2000塊下去,收回450*5=2250元,所以賺到(2250-2000)/2000= 12.5%,五年的投資,賺到了12.5%。可是假如你知道時間就是金錢的話,你知道現在投資下去的2000塊,五年後本來就會值更多錢,未來五年,每一年收到的450塊,現在的價值其實不到450塊。考慮時間因素的話,這個投資的報酬到底多少呢?

我們可以先畫一個簡表,表示這個投資會讓我們有怎樣的支出和收入。假設賣產品的450元都在年末收到。



-2000代表的是支出,投資人支出這些款項。後面的450都是正的, 代表收入。

下一步,我們要選一個貼現率(Discount rate)。(ps. 我比較喜歡把它叫做折現率,因為它是用來把未來的錢折算成現在值所用的比率,可是在google查了一下,discount rate一般都稱貼現率,所以就採用這個名稱。)貼現率是用來讓我們算距今一年後收到的450現在值多少錢,兩年後的450現在值多少錢直到五年後的450現在值多少錢。一般可以用低風險的銀行定存一年利率來試算看看。假設現在銀行定存一年利率為2%,每年計息一次。

我們可以開始算未來收入的現值。可看到下表

未來五年的450收入,分別都得到了一個在2%貼現率下的淨值。譬如說第一年的441.18。代表現在你把441.18元存入一個一年定存利率2%的銀行,一年後就會得到450元。第二年的現值432.53其實可以看作現在你把432.53元存入一年定存利率2%的銀行,每年計息一次,兩年後你就可以得到450元,第三四五年都可以此類推。

這五年來的現值加總,-2000+441.18+432.53+424.05+415.74+407.57 = 121.07。這個值叫作淨現值(Net present value)。

那我們也可以把貼現率換一下,譬如說5%好了。計算現值的表變成


在5%的貼現率下,淨現值是-51.73。

終於可以回到主題。那什麼是投資的內部報酬率呢? 它是一個貼現率的值,在這個貼現率下,這項投資現在和未來的各項資金收支現值和為零。(即淨現值為零。)

回到我們的例子,可以看到這項投資在貼現率2%時,淨現值為121.07。當貼現率為5%時,淨現值為-51.73。所以它的內部報酬率必然在2%到5%之間,我們可以用不同的值,例如4%下去算,逐步逼近讓淨現值為零的貼現率,那麼,這個貼現率就是這個投資的內部報酬率(Internal rate of return)。

感謝電腦這個偉大的發明,我們可以用Excel很快算出這項投資的內部報酬率為4.06%。

怎麼一個投資2000元每年回收450的計畫會弄到那麼複雜呢?我們2000塊還是拿來存銀行2%的定存好了。這個定存也作五年,每年計息一次,每年會收到2%的利息。這樣的定存讓我們有如下表的收支


最後一年2040代表最後是本金與最後一年利息一起收回。
這項投資是否也有內部報酬率呢?有的,同定義,內部報酬率就是讓淨現值為零的貼現率,我們用貼現率2%下去算。


淨現值為-0.03。其實-0.03是因為四捨五入造成的。實際淨現值應為零。數學可以證明,年利率r%,每年計息一次的定存,其內部報酬率就等於r%。

OK,那到底內部報酬率告訴我們什麼呢?回到第一個投資的例子。買機器生產的投資,在2%的貼現率下淨現值為121.07。相比之下,把錢放到銀行定存,年利率2%的話,淨現值為零。買機器生產的收益較高。買機器的內部為報酬率4.06%,也勝過銀行定存的內部報酬率2%。所以假如不考慮風險等其他因素,單就數值來看的話,機器投資的收益勝過銀行定存。但假如銀行利率升到5%,你是要投資機器設生產線的老闆,你會怎麼想。第一個投資機器的例子,在5%的貼現率下,淨現值為-51.73。機器的內部報酬率4.06%,也還是輸銀行定存的內部報酬率5%,這時候你會想把錢擺在銀行還是拿出來投資呢?

這裡就可以看到升息的影響。銀行的利率可以看做一般投資最低報酬的要求。假如存銀行都有年息5%,我為什麼要做4%回報的投資,我為什麼要接讓工廠產品獲利不到5%的單? 我把要開生產線的錢存銀行,要買原料聘員工的錢拿去存銀行,收益都更好。

但假如銀行利率是1%,報酬率4%的投資,接獲利3.5%的訂單,都是有利可圖的。資方就比較有意願投資,願意開生產線,願意聘勞工買原料來生產,經濟會比較熱絡。

回到主題”內部報酬率”,我覺得這是很重要的金融概念。它讓完全不同的投資,有個共同比較的基礎。就像這篇文章中的例子,買機器來生產有內部報酬率,定存也有內部報酬率,兩者就可以比較。政府建高速公路然後跟用路人收費、投資人定期定額或是不定期不定額買基金,都可以有內部報酬率。這是一個很值得瞭解的概念。

後話: 內部報酬率雖然重要而且好用,但只用一個數值來評估一個投資,其實是有問題和限制的。有時候不能只看內部報酬率來做決定。
又,假如你懂內部報酬率,其實你也就懂了債券的Yield to Maturity (YTM)。債券的YTM就是它的內部報酬率。


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43 comments:

建穎 提到...

範例中:五年投資報酬率為12.5%.內在報酬率為4.06%.我都了解

但是五年賺250元(本金2000元)...依網頁算法.

似乎也只等於年利率2.5%之定存.定存五年之獲利.

所以只要利率高於2.5%以上~因該就不值得投資了~不是嗎?


但網頁內...以內在報酬率為4.06%~~和利率比較~

請問是不是我哪裡算錯了??

綠角 提到...

內部報酬率最重要的概念 就是時間
獲利 不能只看數量 拿到多少錢
還要看 你是在多少時間內可以拿到錢
時間愈短 效率愈高

Eric 提到...

這就像拿銀行定存利率做為投資的機會成本,是不是同樣的事呢?

綠角 提到...

可以說類似
真的這麼做
倒是有點簡化

洞悉、科技 提到...

第一次看你的版,有三個問題
第一個:
在『OK,那到底內部報酬率告訴我們什麼呢?』這段中,版大有提到說賣機器的報酬率(包括使用內部報酬率與一般傳統比法),答案都是一樣的,那這樣為什麼還需要用到內部報酬率,雖然版大有說目的是方便比較不同的投資工具。

第二個:
文章有提到定存的淨現值為零,這樣不是不是表示在與銀行定存的貼現率一樣下,其實根本沒有賺到?

第三個:
版大的豐富的理財知識都是閱讀國外的原文書嗎? 因為國內很少看到會有版大這麼深入又與眾不同的觀念?

綠角 提到...

傳統比法?
IRR就是傳統方法之一
你說的傳統方法
會不會是根本不會算報酬率的人在用的算法

有興趣Google 一下IRR或NPV
你就會看到一堆比較深入的討論了

我只有剛開始接觸投資的幾個月看過中文資料
之後就以英文為主力

秀娟 提到...

謝謝您的說明,終於可以算出來小時候一直弄不懂的問題了。也謝謝「匿名」分享的網站。很有意思。PS前幾天去理專那裡問基金的手續費,才發現,原來基金的手續費真的很高~現在我也要開始注意會侵蝕獲利的手續費了。

綠角 提到...

謝謝秀娟的分享
手續費其實還沒有內扣費用可怕

秀娟 提到...

對,您說的沒有錯。內扣手續費(信託報酬)年率2%。算下來,如果放三年,就要6%,真的是很可怕。
以前看您的文章時,心裡總是會有小小的反抗「找報酬率高的就好啦,幹嘛這麼麻煩」。但現在我的財商高了一點,看您的文章看得比較懂一點點了。
BTW,我也用IRR來看。發現十二期中,如果期初交12萬。期末拿到13萬。跟六期初交12萬。期末拿到13萬,趴數都是8.33%。我猜想,這可能是有一位先生講的(在其它文章的回文),用Excle算IRR,有時不太準,要用OpenOffice來算什麼的吧。

綠角 提到...

謝謝秀娟的分享

基金內扣的費用
往往高出公布的經理費甚多

匿名 提到...

綠角大您好, 想請問前面提到的範例裡, 5%折現的淨值為負, 2%折現卻為正, 這裡負值是代表什麼意思呢? 另折現值是越大越好嗎?
感謝您:)

匿名 提到...

想請問綠角大
內部報酬率與複合報酬率有什麼不同呢?

Oliver 提到...

自從一年多前在綠角大網站第一次看到irr之後,因為財務知識還不足,算不出來,就放棄了。

前幾天再次看到,研究到現在,總算是初有一點收獲,謝謝綠角大拋磚引玉,讓廣大網友有更多的財務知識得以學習。

回應第一則留言的問題
2008年5月6日下午6:41
年化報酬率2.5%之定存連續存五年,得到的金額是2000*(1.025)^5=2262.8,並不是250。

綠角大例子中的每期現金流量450,分為五期。第一期現金流量的工作時間為450*(1+r)^5第二期為450*(1+r)^4,以此類推。

建議可以參考綠角大文中工人的例子,這就是計算IRR的目的。
---

秀娟的問題是六期的那個報酬率要*2才等於年化報酬率。因為第二種只算了半年的IRR。

綠角 提到...

Oliver
恭喜你了
也謝謝你的分享

匿名 提到...

IRR非常好用, 只要牽涉到現金流入和流出都能算出內部報酬率, Excel真是個很方便的試算工具.

建議不太懂的人可以用最簡單的定存開始算, 譬如1萬元3年期定存每年固定給300元利息, 那麼這樣的以年算的內部報酬率就是3%

再來可以假設一種3年期定存只在第3年到期時給900元利息, 那麼這種以年算的內部報酬率是多少? 保證不是3%.

接下來可以算比較複雜的, 比如各種保險, 會發現那種所謂的終身保本還本不管是壽險還是意外險還是管他什麼險真是爛的可以, 這些東西要用算的才知道他們有多爛.

綠角 提到...

沒錯
知道irr之後
很多東西就可以比較了

匿名 提到...

請問一個投資行為的報酬率是否可以這樣算?
2010/10/26 -3,000
2010/11/5 -3,000
2010/12/1 1,000
2010/12/6 -3,000
2010/12/15 8,320
負數為投入,正數為平衡(贖回投入另外一標的),最後一個數字為現值,利用XIRR輸入以上資料,算出來是否可以代表這個投資的年化報酬率?
謝謝

綠角 提到...

XIRR算出的的確是年化以後的數字

看到有愈來愈多投資朋友注意到IRR
真是令人高興的正面發展

匿名 提到...

1.請問ETF的配息怎麼跟整個投資的現金流搭在一起算年化報酬率?
2.整組投資的終值是否該加上前前後後配息金額當做最後一筆現金流來計算?
小弟愚昧,請指教,謝謝

匿名 提到...

請問,若irr 加計通貨膨脹會發生什麼情況
另,有可能將irr這篇轉載至公司網站嗎?

謝謝

綠角 提到...

可以請問你要轉到那個公司的網站呢?
一般建議 可以設下轉到這裡的連結就可以啦

阿祥 提到...

您好

我是入門新手,讀完此篇文章後想請綠角大這邊幫忙確認下述想法.
1.不管每年報酬率是正是負,最後之本金+利息何就是複利的表現?
2.停利是否會破壞本金隨市場增值或縮小效果?

綠角 提到...

這篇文章就是想避免有人再用"複利"兩個字
看來效果不彰

匿名 提到...

綠大,在小弟的部落格上放上此文連結,報告一下
http://blog.roodo.com/nraysolar/archives/15337109.html

綠角 提到...

謝謝匿名先生的告知與尊重
謝謝~

匿名 提到...

1.假設投資A.B股票10年,第1年都投入1元,第10年兩者終值也是1元,其中A股票在第2年配0.1元股息,之後沒在配過,B股票在第9年配0.1元股息,之前都沒配過,由內部報酬率觀念可得知A資產irr=1.16%,B資產irr=1.076%,在此可知道配息的時間價值
2.另外一種狀況,條件同上,只是配息改成配股,原本配息0.1元現在變成配股100股,請問AB兩股票的irr還會是不同嗎?在現金流上該如何呈現?
謝謝

ckc 提到...

內部報酬率也就是資金的時間成本囉?

A、B兩種不同頻率與時間長度的定期定額投資,也可藉由計算內部報酬率,來比較哪個方案報酬率較高(較有效率)---->是這樣嗎??

一般單純將投入多少、拿回多少做算數的高報酬率,
若將時間的因素列入考慮,應該會得到很可愛的報酬率吧

努力學習"新"觀念的我~

ckc 提到...

現值0,代表資金放在銀行利率X%下的報酬(風險趨近於0的狀態下)~
現值>0,以利率X%,將預期未來的報酬貼現,代表會有超額的報酬(風險貼水)--->比放在銀行生利息還好~
現值<0,代表承受額外的風險卻還賠錢,還不如放在銀行生利息~
所以很多金融商品都可以利用這個概念來判斷是否值得投資了~
請問綠角大~我這麼說對嗎?
努力學習中的我(不好意思一直問蠢問題)

cmos 提到...
作者已經移除這則留言。
綠角 提到...

cmos
年化報酬率與內部報酬率不一樣

這個問題的計算
請把EXCEL打開
依照本文中的說明
就可以算出

假如還是覺得有困難的話
中文最好的參考書籍
是怪老子先生所寫的
第一次領薪水就該懂的理財方法

綠角 提到...

老狒
謝謝你的好意

匿名 提到...

請問股息再投資計畫如果要計算年化報酬率該如何設定?
EX:
2014/01/01 買進a股 5000鎂
2014/06/01 配息發放 100鎂 (假設扣30%,實際拿到70鎂)
2014/06/04 股息再投資買進a股 70鎂

第一種計算方式
2014/01/01 -5000
2014/06/01 100
2014/06/04 -70
2014/06/05 5500 <-當天賣出價
XIRR以上數據可得年化報酬 26.79%
第二種計算方式
2014/01/01 -5000
2014/06/01 70
2014/06/04 -70
2014/06/05 5500 <-當天賣出價
XIRR以上數據可得年化報酬 25.17%
第三種計算方式
2014/01/01 -5000
2014/06/04 -70
2014/06/05 5500 <-當天賣出價
XIRR以上數據可得年化報酬 21.44%

以上三種計算方式哪一個才對 @@?
謝謝

Rib 提到...

匿名兄,不用這麼麻煩,配息再投入過程其實我們並沒有真正拿到或付出任何一毛錢,配息再投資的時間差也好,預扣稅也好,都是我們不可控的成本,所以只要算
1/1 -5000
6/5 5500
可得25.16%

如果有退稅而且想加入計算,則退稅收入應該以實際拿到退稅的時間和金額計算。
例如
6/27 30
可得26.75%

匿名 提到...

Rib兄
不好意思,再打擾一下
若不考慮配息再投資的話,年化報酬如下計算(用您提到的計算方式)
-1,003.31 2011/10/7
-1,022.26 2012/8/2
-4,527.29 2013/1/10
-2,419.55 2013/7/9
-2,751.43 2014/1/22
-2,218.79 2014/8/1
14,265.50 2014/8/17
可得年化報酬率 ==> 1.94%

此時Firstrade個人頁面可看到該支股票"益損%"是-0.02%,成本是14268.34,市價是14265.5,看起來是成本比市價高才會是負的%數出現,我發現在計算絕對報酬率是有把股息再投資的金額納入成本(股息的確是成本沒錯吧?!),這麼一來就出現這次狀況,絕對報酬是負的,年化報酬卻是正的,這或許是正常認知,但看起來總覺得怪怪的 @@?

lovelollipop1 提到...

請問IRR有可能是負數嗎?

綠角 提到...

可能啊~

匿名 提到...

綠角好,看完你的文章後想做點小補充:

其實內部報酬率(IRR)存在一些問題,使用上需要格外小心。

1. https://www.google.com.tw/search?q=IRR&es_sm=93&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ei=sqMsVZ7FMsvs8AX6-YHYCw&ved=0CAgQ_AUoAQ&biw=1920&bih=971#imgrc=HoicbeVk7lGI0M%253A%3BHtqEdCN2xcN9GM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.brighton-webs.co.uk%252Feconomics%252Fimages%252Firr_400.gif%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.brighton-webs.co.uk%252Feconomics%252Firr.aspx%3B480%3B288

以上面這張圖為例,可以發現在這個情況下若是單純以projectA 之 IRR 大於 project B IRR 而選擇projectA 投資,容易造成錯誤;當expected return (r) 小於10%的時候,從圖中可以看到 projectB 之NPV(淨現值)是比 projectA 還要高的。所以單純用IRR高低決策容易造成偏誤。

2. 有時候IRR不存在。

參考這個例子: CF0= -105000, CF1= 250000, CF2= -150000

畫出其報酬率曲線後發現與NPV=0 並無交點,也就是說IRR不存在。

3. 有時候存在多個IRR。

參考這個例子: CF0= -20100, CF1= 160000, CF2= -302900, CF3=166000

存在三個IRR解 8.6%, 38.5%, 449%

4. 有時使用內部報酬率計算會忽略投資方案的規模。

舉例: projectA: CF0= -1, CF1= 2
projectB: CF0= -10, CF1= 15
IRR(A)= 100% IRR(B)= 50%
然而NPV(A) 小於 NPV(B);
應該選擇投資B方案才是,
在這個情況下會造成選擇上的錯誤。

而用NPV去算比較起來則不容易發生錯誤;使用內部報酬率計算需格外小心。

匿名 提到...

突然發現,您算(1+rate)^n的地方有四捨五入,難怪一開始看不懂,感謝。

匿名 提到...

簡單來說 , IRR 就是將各種定期的投資方式 , 轉換成 "單利方式" 的利率 , 以方便比較如銀行定存 , 或其他以單利計算的一種公式 ,

如果要作反向驗證 , 則要考慮不同的形式有不同的驗證方法 , 如綠角所提的例子 - 單筆投入2,000購買機器 , 每年可以回收450 ,

可得 IRR = 4.06% , 反過來驗證就是 :

將 2,000 分成5筆 , 分別是 432.44(450/1.0406)、416.20(450 / 1.0812)、.....,
第一筆金額以4.06%的單利放一年 , 第二筆金額以4.06%的單利放二年.....依此類推 ,
則最後可以得到每筆金額皆為450 .

Unknown 提到...

把股息再投入納入成本其實是美國券商為了顧客比較好的"稅務效率"來做的計算,
實際上你並沒有額外再拿出錢來,但是這樣的計算方式可以"墊高你的持有成本"
當你要賣出的時候,可以少課一點稅(尤其不同時期買進的,甚至可以賣出特定成本
的股數來認列),這是我的個人看法

匿名 提到...

這個師傅講解得最明白!我看過很多解釋,都覺得模糊,但這位師傅直接解釋,好容易明白。謝謝!

綠角 提到...

謝謝鼓勵~

Unknown 提到...

記得高中數學好像有學過。
現在建議用財務計算機app 。
很容易算出來。
關於年金。勞保。保險。
IRR 是最基礎基礎知識。