意想不到的報酬率
文章開頭，我們先來看個假想情境。
某支基金，你做了單筆1000美金的投資。一年過去後，基金上漲了30%，你原先1000美金的基金，現在有1300美金的價值。你很滿意這樣的報酬。於是又下了單筆1000美金。
可是第二年，基金虧損了20%。你增值成1300美金的第一筆投資，加上1000美金的第二筆投資，共2300美金，到第二年結束，變成2300乘以80%，1840美金。
這兩年來，你在這支基金的投資虧損了160美金(原先投入2000，剩下1840的價值)。
虧損幅度是160除以2000，8%。
基金本身呢?
它第一年漲30%，第二年跌20%，兩年下來共成長了4%。
你虧8%，基金成長了4%。負八和正四，是12%的差距。
大多基金投資人的報酬和基金本身報酬的差距是多大呢?這個假想例子是特例嗎?我們離開假設，來看史實。
Money magazine在1997年刊載了一篇文章，文中檢視VWEG(Van Wagoner Emerging Growth Fund)這支基金投資人的報酬率。在1996上半年，這支基金上漲超過60%。但在1996年一月，這支基金的總資產還不到100萬美金。
到了1996下半年，這支基金的亮麗表現吸引了投資人的目光。投資人也以實際行動表達支持。到1996年七月底，基金的資產增長到8億美金。
但是，1996下半年，基金從高點重挫二十幾%。雖然基金1996整年的表現是正27%的報酬，是一個打敗大盤的單年報酬。但是，多數基金投資人”享受”到的是下半年的重挫，不是上半年的狂升。Money雜誌算出該基金投資人當年的平均報酬是負20%。
這只是少數幾支基金的情形嗎?
晨星(Morningstar)早在1995年針對美國國內成長型基金投資人的報酬做過類似的比較。這究發現，從1989到1994這五年間，美國成長型基金(Growth funds)的報酬率是12.5%，但成長型基金投資人的報酬率是-2.2%。
知名的財經新聞記者Jason Zweig在2002年的Money magazine寫了一篇文章。文中比較1998到2001這四年間，基金的報酬率和投資人報酬率的差異。一些差距較大的基金如下表
| 基金名稱 | 基金報酬率 | 投資人報酬率 | 差距 |
| Fidelity Aggressive Growth | 2.8% | -24.1% | -26.9% |
| Vanguard Capital | 29.2% | 5.2% | -23.9% |
| Fidelity Select Electronics | 21.7% | 7.6% | -14% |
| Aliance Premier Growth | 3.4% | -9.2% | -12.5% |
| Fidelity OTC | 7.7% | -2.7% | -10.4% |
為什麼明明投資在賺錢的基金，投資人實際上卻是賠錢，這是怎麼回事?
答案是，投資人的報酬不是單純由基金報酬決定的，是由投資人的行為和基金的報酬兩者共同決定的。
而且，投資人行為的影響力可以超越基金報酬的力量。也就是說，投資行為犯下的錯誤，可以讓投資人即使投資在會賺錢的基金，結果還是賠錢。
這個錯誤最常見的形態就是，投資人看到某基金，或某類型的基金，有一兩年的卓越表現後，把錢大舉投入。很不幸的是，這時離”高點”通常也不遠了。結果投資人常在接下來的下跌中，忍受不了而出場。
投資人要掌握投資的成果，必需要有自行計算報酬率的能力。以現在最多人用來買基金的銀行通路為例，大多基金投資人會看網路銀行上面顯示的報酬率。不過網路銀行的報酬率有三個重大缺點。
第一，這個報酬率只能恰當表示出單筆基金投資的報酬。對於很多人採用的定期定額投資，網路銀行常這樣表示。譬如有個投資人每月投入1000美金，八個月後，基金共值9000美金，顯示出的報酬率會是(9000-8000)除以8000，等於12.5%。這是一個很糟糕的算法。
這裡值得解說一下。譬如有個投資人每個月投入 100美金，連續12個月。然後贖回，值1400美金。網銀算報酬率的算法是 200/1200。這種算法的含意等於是說，這樣定期定額的報酬率與期初就單筆1200下去，一年後回收1400的報酬率是相等的。
其實，差很多。
我們可以看個比喻。投資人就像工地主任。你派人手，也就是錢，去完成一項建築計畫。你可以一口氣派1200人下去工作。你也可以一個月配100人下去，為期一年，慢慢增加人力。假如這兩種人力分派方式，最後的結果是一樣的(都生出200元的成果)，那一組人的生產力高?
就算你還沒上小學，就開始討厭數學，你也知道，一個月增加100人那組人的生產力高。因為，一樣共1200的人力，第二種人力分配方式裡，只有最初100人工作了一整年，最後那100人，根本只做了一個月。這樣的成果，與1200人，從年頭做到年尾的成果相同，當然是每月增加100人的生產力高。
現在網銀和很多人算報酬率的方式，就是將這兩種人力分派方式的成果，一視同仁，然後說較複雜的計算方法都是數字遊戲，投資的枝微末節。其實，他們是連自己手下工人的生產力都無法掌握的工地主任，然後想著自己正在完成偉大的建築計畫。
正確的算法要應用內部投資報酬率概念來算。不過目前綠角沒有看到任何網路銀行應用內部報酬率概念來幫客戶計算定期定額的投資報酬。投資人要自行瞭解。
第二，網路銀行上的報酬率常是粗報酬(Gross return)， 不是淨報酬(Net return)，因為沒有計入買基金的手續費等成本。這常讓投資人乎略了成本對報酬的負面影響。
第三，網路銀行會讓投資人太專注於他持有基金的”個別”表現。而其實，”整體”投資組合的表現，才應是焦點所在。
在銀行購買基金已經是比較”單純”的投資行為，很多投資人更是時常在股市進出，要計算報酬率要花更多的功夫。大多數投資人，專注於研究市場動態、個股展望，卻沒有下功夫檢視自己的投資成果。
人常會記得自己買到最好的基金和股票的報酬，卻忘掉虧損的投資到底賠了多少。人多會記得自己在多頭市場賺了多少，卻忘掉空頭時的悲慘回憶。
結果就是，大多人”以為”的投資成果，比”實際”高出很多。
多數投資人的報酬率比他投資的基金和市場的報酬率要來得低的原因，除了上一篇提到的投資人行為之外，投資人會一直重覆這樣的行為模式，還不知道這樣投資已經傷害到自己的報酬，就是因為他沒算過自己投資的報酬率到底如何。
投資人常會自以為自己投資的報酬率很好，事實上常是過於樂觀的估計。但人們有樂觀的傾向，特別當這樂觀的估計，可以讓人以為自己很會投資的時候。
投資報酬不是你以為有多少，它就會有多少，我們要面對事實。要先學會把事實挖出來，我們才能面對。所以我們要會自己算報酬率。在進入正式的計算解說之前，要先掌握一個重要的觀念，就是內部報酬率概念。
內部報酬率是一個數學概念。大多讀者恐怕開始有點害怕或反胃的感覺，並懷疑這篇還要不要讀下去。絕大多數投資人喜歡錢，但不喜歡用太複雜的方法來計算。
我相信，大多投資人本著對金錢的熱愛，是有足夠的動機瞭解內部報酬率的。它其實很簡單。我建議讀者可以放慢閱讀速度，好好掌握這個概念。你會發現，內部報酬率概念，可以讓你明確掌握整個投資生涯的損益。這個概念，才是你的財務計算機和電腦。
內部報酬率，在綠角的部落格裡已有一篇文章專門解釋。請鼓起勇氣，點選內部投資報酬率概念(Internal Rate of Return)一文吧。
OK。假設現在你已經知道內部報酬率是什麼了。我們可以看一些實際的運算。
如定期定額每月投資100美金，投資一年(也就是12 個月)，然後在最後一筆投資後一個月贖回，收回1400美金。以這樣來試算看看。
首先列出這段時間的資金收支
| 月份 | 美金收支 |
| 1 | -100 |
| 2 | -100 |
| 3 | -100 |
| 4 | -100 |
| 5 | -100 |
| 6 | -100 |
| 7 | -100 |
| 8 | -100 |
| 9 | -100 |
| 10 | -100 |
| 11 | -100 |
| 12 | -100 |
| 隔年1月 | 1400 |
負號表示支出，正號表收入。
以EXCEL運算舉例。可以把這13個月的收支寫入A1到A13儲存格中(注意正負號)。
然後選A14格，按下函數鈕fx，在財務的分類裡找到IRR這個函數，點兩下選它。會出來一個對話方塊，在VALUE格裡輸如A1:A13這樣它就會計算從A1到A13儲存格裡這些收支產生的內部報酬率。
結果算出來是2.35%。要注意的是，這裡是以一個月為一期，所以2.35%是以月為一期的內部報酬率。這樣投資的報酬率與每月計息一次，月利率2.35%的定存的內部報酬率是相同的。
不過這是粗報酬，因為沒有計入投資的成本。假設這個投資要2%的手續費，資金收支變成
| 月份 | 美金收支 |
| 1 | -102 |
| 2 | -102 |
| 3 | -102 |
| 4 | -102 |
| 5 | -102 |
| 6 | -102 |
| 7 | -102 |
| 8 | -102 |
| 9 | -102 |
| 10 | -102 |
| 11 | -102 |
| 12 | -102 |
| 隔年1月 | 1400 |
用一樣的方法計算，這個投資的內部報酬率是2.05%，比粗報酬2.35%低了0.3%，也就是說有0.3除以2.35，等於12.8%的報酬被手續費吃掉了。(你沒看錯，是被吃掉十幾趴的報酬，太多人不知道手續費真正的殺傷力。)
那麼台幣的報酬呢？
很多投資朋友都是每個月用台幣換美金，之後再找個好匯率換回台幣。這也很容易算出來，把剛才那個表多增一個欄位。
| 月份 | 美金收支 | 台幣收支 |
| 1 | -100 | -3250 |
| 2 | -100 | -3260 |
| 3 | -100 | -3255 |
| 4 | -100 | -3160 |
| 5 | -100 | -3190 |
| 6 | -100 | -3200 |
| 7 | -100 | -3260 |
| 8 | -100 | -3290 |
| 9 | -100 | -3300 |
| 10 | -100 | -3280 |
| 11 | -100 | -3250 |
| 12 | -100 | -3260 |
| 隔年1月 | 1400 | 45500 |
在EXCEL裡把台幣收支輸入B1到B13格(請注意正負號)。然後選B14格，在裡面選函數IRR，輸入B1:B13，這樣就可得到台幣的報酬率，算起來是2.37%。比美金報酬好，所以匯率方面有幫忙多賺一些。
可以再衍生。定期不定額也可以算。比如有個基金投資者的收支是這樣:
| 月份 | 美金收支 |
| 1 | -100 |
| 2 | -200 |
| 3 | -150 |
| 4 | -100 |
| 5 | -200 |
| 6 | -100 |
| 7 | 950(贖回收入) |
一樣把這些資料輸入EXCEL儲存格C1到C7，然後計算IRR(C1:C7)。就可以得到內部報酬率是3.16%。假如有某個月份沒投資，就把那格直接列為零就可以了。
我們來看一個實際的例子，下表列出的是富蘭克林坦伯頓成長基金在2006年第一個營業日、最後一個營業日，和每個月16號的淨值(若16號為假日，則記錄下一營業日的淨值。)
| 日期 | 淨值 |
| 1月2日 | 22.94 |
| 1月17日 | 23.53 |
| 2月16日 | 23.76 |
| 3月16日 | 24.21 |
| 4月17日 | 24.32 |
| 5月16日 | 24.97 |
| 6月16日 | 23.61 |
| 7月17日 | 23.49 |
| 8月16日 | 25 |
| 9月18日 | 25.42 |
| 10月16日 | 26.36 |
| 11月16日 | 25.19 |
| 12月18日 | 25.57 |
| 12月29日 | 25.66 |
下方列出的是該基金在2006年的兩個配息日和股息再投資淨值。
| 日期 | 再投資淨值 | 每股配息 |
| 10月20日 | 24.45 | 2.0099 |
| 12月15日 | 25.57 | 0.1601 |
我們可以看不同情形的報酬率。
假設有個投資人以2006年1月2日的淨值買入單筆10,000美金，配息皆再投資，持有到2006年12月29日結算，報酬率會是多少呢?
那天的10,000美金可以買到，10,000除以22.94，等於435.9198單位的基金。
這筆基金在10月20號可以領到共435.9198 乘以2.0099，等於876.1552美金的配息，再投資得到35.8346單位的基金。
12月15號那次配息，投資人已經有了435.9198 + 35.8346，等於471.7544的單位數。可以領到75.5279的配息，再投入得到2.9538的單位數。
全年下來，該投資人會持有435.9198加35.8346加2.9538，共474.7081單位的基金。
這些單位的基金，在2006年12月29日值12181.01美金。所以該投資人全年的報酬率是21.81%。
不過，這是用富蘭克林坦伯頓公司網站上的淨值資料算出來的單筆投資結果。這個世界上，沒有任何一個單筆投資人有這樣的投資成果。兩個原因，買基金要成本，配息要課稅。
我們先看買基金成本的影響。假設這個人手續費打五折，也就是1.5%，所以他在買進時要付出150美金。所以投入10,150，年終增值到12181.01。報酬率是20.01%。
再來看課稅的影響。台灣的基金投資人2006年的兩次稅後配息分別是1.89437和0.14207。以這樣的配息來算，年初10,000美金的投資，到年末累積有472.3043單位，值12119.33美金，報酬率是21.19%。
我們可以看成本和課稅的共同影響。
期初投入10150，期末得到12119.33，報酬率是19.40%。比起不計手續費和課稅的報酬少了2.4%的報酬。也就是說，原來21.81%的報酬，被成本和課稅吃掉2.4%，共11%的報酬。(2.4%占了21.81%的近一成)
所以，請不要再看著網站上的年報酬率數字，以為那就是自己的投資成果。投資人的實際報酬，一定低於那個數字。
同樣的資料，我們可以算出假如一個投資人每月16號投入1000美金的成果。
| 日期 | 淨值 | 投入金額 | 購得單位數 |
| 1月17日 | 23.53 | 1000 | 42.4989 |
| 2月16日 | 23.76 | 1000 | 42.0875 |
| 3月16日 | 24.21 | 1000 | 41.3052 |
| 4月17日 | 24.32 | 1000 | 41.1184 |
| 5月16日 | 24.97 | 1000 | 40.0481 |
| 6月16日 | 23.61 | 1000 | 42.3549 |
| 7月17日 | 23.49 | 1000 | 42.5713 |
| 8月16日 | 25 | 1000 | 40 |
| 9月18日 | 25.42 | 1000 | 39.3391 |
| 10月16日 | 26.36 | 1000 | 37.9363 |
| 11月16日 | 25.19 | 1000 | 39.6983 |
| 12月18日 | 25.57 | 1000 | 39.1083 |
十月配息前，投資人共累積了409.2598單位，以十月的稅後配息每股1.89437來算，可得775.2895美金配息，再投資可得31.7092單位的基金。
十二月配息前，投資共累積有前十個月購入的409.2598單位加十月配息再投資的31.7092單位加十一月買進的39.6983單位，共480.6673單位。
以十二月稅後配息每股0.14207計算，再投資可得2.6706單位。
整年下來投資人共累積522.4462單位。
因為一期是一個月，我們以2007年1月16日的淨值25.93來計算這個定期定額的損益。現金流如下:
| 月份 | 美金收支 |
| 1 | -1000 |
| 2 | -1000 |
| 3 | -1000 |
| 4 | -1000 |
| 5 | -1000 |
| 6 | -1000 |
| 7 | -1000 |
| 8 | -1000 |
| 9 | -1000 |
| 10 | -1000 |
| 11 | -1000 |
| 12 | -1000 |
| 隔年1月 | 13547 |
隔年1月，投資價值為:522.4462*25.93=13547。
計算出內部報酬率為1.85%。這是一期(一個月)的報酬率。
這些計算都是加減乘除而已，只會煩，不會難。假如想做個實事求是的投資人，一定要確實掌握自己投資的報酬率數字。也惟有如此，你才能檢討自己的投資成果。
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20 comments:
請問版主：
一期(一個月)的內部報酬率為1.85%，這樣計算出 年化報酬率是不是 [1+1.85%)^12]-1=24.604% 呢？
若是以銀行的粗年報酬是不是 (13547-1000*12)/(1000*12)=12.892% 呢？
可是通常不是以計算1期的內部報酬而出來的年化報酬率(24.604%)銀行計算的粗年報酬(12.892%)低嗎？
怎麼這地方反而會變高呢？
我的算法有誤嗎？
教教我唄...先謝過了～
Blue你算得沒錯。假如你第一次就投入12000，那麼一年的報酬率只要12.89%就可以賺取那麼多報酬。可是你是分次投入，每次1000，共十二次，達到一樣的報酬，那麼這些錢的”工作效率”勢必更高，也就是報酬率較高的意思。
謝謝 綠角～
我以為 通常都是單筆的報酬率會比定時定額的報酬高(於網路查詢時都是這樣),但這麼這裡的不是這樣,原來是 效率的問題阿！！
謝謝您 ^^
版主的數學邏輯很好耶！
版主您好,
有關文章開頭提到基金報酬率為正,但投資人報酬率為負的情況,是否在指數型基金也有相同的情況?
你可以去美國晨星網頁翻閱一下
就知道答案了
請問版主一開始那個80%是什麼@@?怎麼得出來的?
>第一年漲30%，第二年跌20%，兩年下來共成長了4%。
請問4%怎麼算出來，多謝指點。
1.3x0.8-1=0.04
謝謝幫忙
請問如果是不定期不定額投入資金，有什麼好的方式計算報酬率嗎？
可以用XIRR
我有些問題感到疑惑想問綠角大，利用IRR或是XIRR的方式來計算出年化報酬率的確是很好的方法。但是假如我要買長期投資的股票不賣出然後每年領配息，請問該如何計算IRR？假設年初買入5萬元的股票，年中領2000元的配息：
2012/1月 -50000
2012/6月 +2000
那如果我持續沒有賣出這張股票，那麼我能計算出IRR的時間不就被拉長直到我賣出的這一天，如此一來就沒辦法年年檢視年化報酬率為多少。
1.你可以"假設"當天賣出並獲得多少錢，就可以檢視到當天的年化報酬率是多少
2.如果用excel的外部資料匯入及時股價，更可以隨時打開excel就可以知道那個瞬間的年化報酬率是多少
謝謝匿名先生的幫忙解說~~
請問Excel的IRR函數是否有筆數的限制?
例如基金每月投資 USD 101.62，經過37個月後贖回，銀行入帳 USD 4336.2；套用IRR含數，Excel顯示 #DIV/0!，若利用IRR淨現值等於零的觀念推算，則月利率遠大於100%(因為期數愈大，現值愈趨近於零)，請問超過三年以上的投資，如何估算報酬率?
不是筆數限制的問題，irr有第二個引數。你用=irr(表格範圍,0)就可以算出結果為0.90%。
一般不打第二個引數時，其實就是預設為0.1，但如果算不出結果，就要換其他數字，這時隨便打一個0.1以外的數字試試就行了。我個人常用0或-0.1。詳細原理煩請自查函數說明。
至於「月利率遠大於100%(因為期數愈大，現值愈趨近於零)」完全看不懂在說什麼。
謝謝Rib幫忙
謝謝菜鳥朋友
此篇文章已經全部更新，修正完成
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