內部投資報酬率概念(Internal Rate of Return)

今天有一個投資計畫，可以用2000塊買一台機器。這台機器生產的產品，每年都可以賣450塊錢，連續五年，然後機器就會報銷了，先不考慮風險，那麼這項投資的報酬率如何呢?

OK。我們可以很簡單的算，投資2000塊下去，收回450*5=2250元，所以賺到(2250-2000)/2000= 12.5%，五年的投資，賺到了12.5%。可是假如你知道時間就是金錢的話，你知道現在投資下去的2000塊，五年後本來就會值更多錢，未來五年，每一年收到的450塊，現在的價值其實不到450塊。考慮時間因素的話，這個投資的報酬到底多少呢?

我們可以先畫一個簡表，表示這個投資會讓我們有怎樣的支出和收入。假設賣產品的450元都在年末收到。

-2000代表的是支出，投資人支出這些款項。後面的450都是正的， 代表收入。

下一步，我們要選一個貼現率(Discount rate)。(ps. 我比較喜歡把它叫做折現率，因為它是用來把未來的錢折算成現在值所用的比率，可是在google查了一下，discount rate一般都稱貼現率，所以就採用這個名稱。)貼現率是用來讓我們算距今一年後收到的450現在值多少錢，兩年後的450現在值多少錢直到五年後的450現在值多少錢。一般可以用低風險的銀行定存一年利率來試算看看。假設現在銀行定存一年利率為2%，每年計息一次。

我們可以開始算未來收入的現值。可看到下表

未來五年的450收入，分別都得到了一個在2%貼現率下的淨值。譬如說第一年的441.18。代表現在你把441.18元存入一個一年定存利率2%的銀行，一年後就會得到450元。第二年的現值432.53其實可以看作現在你把432.53元存入一年定存利率2%的銀行，每年計息一次，兩年後你就可以得到450元，第三四五年都可以此類推。

這五年來的現值加總，-2000+441.18+432.53+424.05+415.74+407.57 = 121.07。這個值叫作淨現值(Net present value)。

那我們也可以把貼現率換一下，譬如說5%好了。計算現值的表變成

在5%的貼現率下，淨現值是-51.73。

終於可以回到主題。那什麼是投資的內部報酬率呢? 它是一個貼現率的值，在這個貼現率下，這項投資現在和未來的各項資金收支現值和為零。(即淨現值為零。)

回到我們的例子，可以看到這項投資在貼現率2%時，淨現值為121.07。當貼現率為5%時，淨現值為-51.73。所以它的內部報酬率必然在2%到5%之間，我們可以用不同的值，例如4%下去算，逐步逼近讓淨現值為零的貼現率，那麼，這個貼現率就是這個投資的內部報酬率(Internal rate of return)。

感謝電腦這個偉大的發明，我們可以用Excel很快算出這項投資的內部報酬率為4.06%。

怎麼一個投資2000元每年回收450的計畫會弄到那麼複雜呢?我們2000塊還是拿來存銀行2%的定存好了。這個定存也作五年，每年計息一次，每年會收到2%的利息。這樣的定存讓我們有如下表的收支

最後一年2040代表最後是本金與最後一年利息一起收回。
這項投資是否也有內部報酬率呢?有的，同定義，內部報酬率就是讓淨現值為零的貼現率，我們用貼現率2%下去算。

淨現值為-0.03。其實-0.03是因為四捨五入造成的。實際淨現值應為零。數學可以證明，年利率r%，每年計息一次的定存，其內部報酬率就等於r%。

OK，那到底內部報酬率告訴我們什麼呢?回到第一個投資的例子。買機器生產的投資，在2%的貼現率下淨現值為121.07。相比之下，把錢放到銀行定存，年利率2%的話，淨現值為零。買機器生產的收益較高。買機器的內部為報酬率4.06%，也勝過銀行定存的內部報酬率2%。所以假如不考慮風險等其他因素，單就數值來看的話，機器投資的收益勝過銀行定存。但假如銀行利率升到5%，你是要投資機器設生產線的老闆，你會怎麼想。第一個投資機器的例子，在5%的貼現率下，淨現值為-51.73。機器的內部報酬率4.06%，也還是輸銀行定存的內部報酬率5%，這時候你會想把錢擺在銀行還是拿出來投資呢?

這裡就可以看到升息的影響。銀行的利率可以看做一般投資最低報酬的要求。假如存銀行都有年息5%，我為什麼要做4%回報的投資，我為什麼要接讓工廠產品獲利不到5%的單? 我把要開生產線的錢存銀行，要買原料聘員工的錢拿去存銀行，收益都更好。

但假如銀行利率是1%，報酬率4%的投資，接獲利3.5%的訂單，都是有利可圖的。資方就比較有意願投資，願意開生產線，願意聘勞工買原料來生產，經濟會比較熱絡。

回到主題”內部報酬率”，我覺得這是很重要的金融概念。它讓完全不同的投資，有個共同比較的基礎。就像這篇文章中的例子，買機器來生產有內部報酬率，定存也有內部報酬率，兩者就可以比較。政府建高速公路然後跟用路人收費、投資人定期定額或是不定期不定額買基金，都可以有內部報酬率。這是一個很值得瞭解的概念。

後話: 內部報酬率雖然重要而且好用，但只用一個數值來評估一個投資，其實是有問題和限制的。有時候不能只看內部報酬率來做決定。
又，假如你懂內部報酬率，其實你也就懂了債券的Yield to Maturity (YTM)。債券的YTM就是它的內部報酬率。


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