投資組合的標準差(Standard Deviation of Expected Return of Portfolio)

標準差是最常用來衡量資產波動性的數值。一個投資組合由不同資產組成，各資產有自己的標準差，要如何從各組成份子的標準差算出投資組合的標準差呢?這就和計算投資組合的預期報酬的方法完全不同了。

用比重加權平均算出的標準差平均，只有在各資產相關係數為+1時是投資組合的標準差。投資組合的標準差算式有點複雜，由Markowitz推導而得。(想看詳細推導過程的朋友，可以找Harry Markowitz在Journal of Finance, March 1952 page 77-91 “Portfolio Selection”這篇文章。)



SDport是投資組合的標準差(Standard deviation of portfolio)
Wi表某資產在投資組合中所佔比重
SDi表某資產的標準差
COV ij 表ij這兩個資產間的共變異數

還是舉例來看比較清楚。

假設有A、B兩個資產，它們的預期報酬都是10%，標準差都是10%。它們組成了一個投資組合，在這個組合中，它們占的比重都是50%。以下表描述

所以這個投資組合的預期報酬是10%*0.5+10%*0.5=10%。

我們先看第1個情況，假設A、B兩資產報酬的相關係數是1，來算投資組合的標準差。

我們知道共變異數等於相關係數乘以兩者的標準差。

所以COVab(A、B兩資產的共變異數)=1*0.1*0.1=0.01

對於兩個資產組成的投資組合，它的標準差公式是:



Wa: A資產所佔比重
Wb: B資產所佔比重
SDa: A資產的標準差
SDb: B資產的標準差

所以SDport^2= 0.5^2*0.1^2 + 0.5^2*0.1^2 +2*0.5*0.5*0.01
=0.01
所以SDport=0.1，在第1個情況，AB兩者相關係數為1時，投資組合的標準差也是10%。

那我們可以假設各種不同狀況，來算投資組合的標準差。

可以看到，隨著A和B資產的相關係數愈來愈小，投資組合的標準差也愈來愈小。假如把波動性視為風險的話，就也可以說，風險愈來愈小。

但值得住意的是，不論AB間的相關係數為何，該投資組合的預期報酬都還是10%。所以重點就是，把相關程度低的資產拿來組合，並不會影響期望報酬，但會減少風險。

Markowitz推導出來的公式，明白表示，投資組合整體的標準差，不是單由個資產的標準差決定的，各資產間的相關性也占有重要的角色。其實當投資組合組成的資產愈多，相關性的份量會比各自的標準差重要。這就是為什麼，要加入或減少一個資產時，要看它對整體配置的影響，而不是只看該資產自己的期望報酬和標準差。


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