債券的存續期間—Macaulay Duration

由”影響債券價格的因素”一文可以知道，到期時間愈長的債券，其價格對利率變化愈敏感。所以當其他條件都相同時，一張20年到期的債券和一張5年到期的債券，面對利率上升時，前者的價格跌幅較大。我們也知道票面利率愈低的債券，其價格對利率變化愈敏感。所以當其他條件一樣，一張票面利率5%和一張票面利率9%的債券，面對殖利率上升時，前者的價格下跌較多。但假如債券同時有兩個條件不同呢?

譬如一張5年期，票面利率5%的債券和一張10年期，票面利率7%的債券，面臨利率上升時，何者的價格下跌較多呢?似乎就不容易比較了。

所以金融界發展出存續期間(Duration)的概念，用來衡量債券價格對利率變化的敏感度。這篇文章介紹1938年即由Frederick Macaulay發展出的Macaulay duration。

存續期間衡量某張債券的持有人平均在多少時間後可以拿回債券的配息和本金。比方說某債券讓你在一年後拿回50元，兩年後拿回50元，所以你拿回這些錢的平均時間是(1*50 + 2*50)/100=1.5年。1.5年就是這個債券的存續時間。不過這樣說明是幫助瞭解初步概念，有點過於簡化。

Macaulay的債券存續時間用的平均是加權平均。每個支付的利息和本金都有一個加權值，而這個權值等於該利息或本金的現值占債券現值的比例。來看一個例子，某債券票面金額10,000，票面利率4%，三年後到期，現在的殖利率是5%。

債券的利息和本金支付如下

再算出各利息和本金現值所占債券現值的百分比

這個百分比就是該利息或本金支付的時間所應乘上的權重，譬如1年支付的利息占現值的3.916%，所以它的加權時間就是1年乘以0.03916=0.03916年，以此類推:

加權時間的總合0.03916+0.0746+2.7705=2.88年，這就是這張債券在5%的殖利率下的Macaulay duration。

看起來有點複雜。不過其實用Excel的話，也不難算。知道方法之後，有興趣的朋友可以算算看同一張債券在8%的殖利率下，它的存續時間會變怎樣。還有零息債券的存續時間是多少。

Macaulay duration有以下特性:
1. 零息債券的存續時間與其到期時間相等。
2. 支付利息的債券(Coupon bond)其存續時間永遠會小於它的到期時間。
3. 票面利率愈低，存續時間愈長。
4. 一般來說，債券的到期時間愈長，存續時間愈長。但低票面利率債券，在高利率環境下(譬如票面利率3%，殖利率15%)，其存續時間有可能隨到期時間的拉長而減短。
5. 到期殖利率(YTM)愈高，債券的存續時間愈短。

後記:我其實有點存疑是否要寫這樣的文章。因為財經文章的讀者數量與文內的數學算式數量成反比。一張債券的分析，從現值的計算，用到等比級數開始，之後就愈來愈複雜。要算債券的曲率(Convexity)，就要用到微積分。不過，這些算式才是表象的根本。知道了之後，對整個概念就可以有更深入的掌握。

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