債券的彎曲度—續1(Bond Convexity)

這篇文章，我們來看一個例子。

債券A，面額100，到期時間15年，每年配息一次，票面利率8%。
債券B，面額100，到期時間10年，每年配息一次，票面利率0%。

兩張債券都處在到期殖利率(YTM)4.98%的狀況下。如下表:





(此例取材自Douglas Hearth等人所著Contemporary Investments一書)

由這些資料，我們可以算出這兩張債券的存續時間(Macaulay duration)都是10年，但曲率方面，債券A較高是123.42，債券B則是99.8。

我們分別持有債券A和B一年，這一年後，到期殖利率也產生了改變。我們可以算出這一年來的報酬(Holding period return)。

這個表格中分別模擬了殖利率上升1.5%到下跌1.5%的狀況。我們可以看到，當殖利率漲到6.48%，比原先的4.98%高了1.5%的時候，無論債券A還是債券B都產生了損失，但債券A損失較少。

當殖利率下跌到3.48%時，兩張債券都賺錢，而且債券A賺比較多。

這個例子有幾個重點。

首先，我們再次看到了曲率較大的債券，升息時損失較少，降息時獲利較大。

再來，我們發現升降息幅度愈大，債券A與債券B的報酬率差異就會愈大。

最後則是，這兩張債券的存續時間相同，都是十年。而存續時間是用來衡量債券價格對利率變動的敏感度。存續時間長的債券，面對相同的利率變化，價格會有較大的波動。但我們看到，這兩張存續時間相同的債券，它們對利率變動產生的價格變化是不一樣的。

為什麼會這樣?

因為存續時間是一個估計。

我們一樣可以看個簡圖，掌握這個概念。

紅線表某債券的價格與到期殖利率關係。

我們先看在到期殖利率5%的那個點。我們在到期殖利率5%那點，對這個曲線做一條切線。這條切線的斜率，就是存續時間。

使用存續時間估算債券價格對利率的變化，就是用這條切線在估算。

我們可以看到，當到期殖利率升到6%時，曲線指出的實際價格減損，會比那條切線少。當殖利率降到4%時，實際的債券價格增值會比切線多。兩者的差距，以藍線表示。

所以，使用存續期間進行估算，當降息時，會低估債券的增值幅度。升息時，則會高估債券的降值程度。

從這個圖還可以看出幾個概念。首先就是殖利率變動的幅度愈少，使用存續時間的估算與真實情況差距愈小。換句話說就是，使用存續期間估算，在大幅度的殖利率變動下，會嚴重失真。還有，對曲率大的債券使用存續期間估算，會產生較大的偏差。

知道了這些之後，就能瞭解例子中為什麼A債券和B債券的存續期間相同，卻對利率變化有不同程度的反應，也知道為什麼當利率變動愈大時，兩者報酬的差距愈大。

待續..

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