債券的彎曲度—續2(Bond Convexity)

這篇介紹債券曲率的實際運算方法。

英文定義:
Convexity is the second derivative of price with respect to yield(d^2P/di^2)divided by price.

中文定義:
債券曲率是價格對殖利率的兩次微分再除以價格。

(慘了，會不會有讀者開始覺得為什麼明明是中文卻看不懂。)

債券價格是日後所有現金流(Cash Flow，簡寫CF)折現後的加總。在某時間(t)的現金流，簡寫為CFt。殖利率簡寫為i。

債券價格Price


債券價格對殖利率的兩次微分:
Price對i兩次微分


所以債券曲率就是最後那行算式得到的數字，再除以債券價格。

我們以債券的彎曲度—續1(Bond Convexity)文中的債券A為例，看表中的曲率123.42是如何算出來的。

首先，分成A、B、C、D、E五個欄位，分別寫入各別年度(Year，t)、該年領到的錢(CFt)、該金額在到期殖利率下，折現後的現值、與t^2+t、還有現值與(t^2+t)相乘後的結果。如下表。這在EXCEL都是很簡單的運算。

最後算一項1/(1+i)^2=1/(1+0.0498)^2=0.90738

最後即可算出該債券的曲率等於17872乘以0.90738除以131.39，等於123.42。

決定債券曲率的因素和決定債券存續期間(Duration)的要素一樣，且作用方向相同。這三個要素分別是票面利率(Coupon rate)、到期時間(Maturity)與到期殖利率(Yield to Maturity)。

票面利率愈低，債券曲率愈大。兩者呈反向關係。
到期時間愈長，債券曲率愈大。兩者呈正向關係。
到期殖利率愈高、債券曲率愈小。兩者呈反向關係。

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