年金是一個明白體現金錢的時間價值的概念，很多金融計算，包括貸款、保費、退休計劃，都會牽涉到年金。是個值得掌握的觀念。
這篇文章，談最基本的年金運算。
假設有一筆年金，每期支付1塊，都在期末支付，共n期。
假設每期利率為i，我們可以來計算這筆年金的終值S和現值A。
我們先看終值S。終值就是說，在最後一期，也就是第n期，最後一筆錢支付出去的當下，這個現金流，這個年金值多少錢?
我們知道，在最後一筆年金付出去的時候，最後一筆年金那一塊錢，就是當下的一塊錢，所以價值就是1。前一期付出的一塊錢，就不只一塊錢的價值，必需乘上利率(1+i)。再更前面一期的一塊錢，則是值(1+i)^2。以此類推，第一期付出的一塊錢，值(1+i)^(n-1)。
所以年金終值S= 1+ (1+i) + (1+i)^2 + (1+i)^3 + …… + (1+i)^(n-1)
以等比級數公式可算出，S= ((1+i)^n-1)/i。
這是一塊錢的年金終值。假如每期是100塊，就把S乘以100即可。
再來看年金現值A。現值就是，這筆年金，在第一期期初時，這筆年金的價值。
這時候，第一期期末才要付的一塊錢，現在的價值不到一塊錢，要除以利率(1+i)，所以第一筆一塊錢的現值是1/(1+i)。同理，第二期的一塊錢，現值是1/(1+i)^2，一直到第n期的一塊錢，現值是1/(1+i)^n。
為了書寫方便，我們新定義一個數值v，v=1/(1+i)。
所以現值的加總，可以寫成A= v+ v^2 + v^3 + ….. + v^n。
以等比級數公式可算出，A= (1-v^n)/i。
理論算式畢竟比較無聊，還是看實際運用。
假設有個零存整付儲蓄計劃，某人打算每個月存10,000元，銀行提供年利率3%，為期24個月，請問最後可以拿回多少錢?
這個每月存，我們先假設都是每個月月底存。年利率3%，所以月利率是0.25%。
最後可以拿多少錢，就是年金終值。
套上公式 S= 10,000 * (1.0025^24-1)/0.0025，計算得終值是247028。
這樣其實有點麻煩。我們也可以用EXCEL直接算。
請按fx鈕，選”財務”裡的”fv”函數。
第一欄rate是每期利率，輸入0.0025。第二欄Nper是付款期數，輸入24。第三欄Pmt是每期付款金額，輸入10,000。然後按確定。OK，算出來了。相當簡單。不過請注意，最後一個欄位Type表期初或期末付款。沒有輸入或0，表示期末付款。1表示期初付款。算年金，一定要弄清楚期初還是期末付款。
再來算一個，每月投資3000，每月有0.8%的報酬，請問20年後終值多少。這個問題大家應該比較有興趣。假設你是每個月的月底投入。那麼答案是2,163,393元。其實，小錢也是能累積出大錢的。代價是，風險。
最後一個例子。某人現在開始退休。他存有一千萬的退休金，預計退休金的投資組合每年有3%的收益，請問，他可以每年年末提多少錢，連續提用20年，剛好把退休金用完。
這個問題要換一個角度想。這位退休人士，每年年末提錢，所以就是一筆年金。這一千萬就是年金現值，年金年利率是3%，維持20期，求每期可提多少錢。
可以直接用公式，10,000,000= X * (1-(1/1.03)^20)/0.03，解X=672157。
或是用EXCEL，選PMT函數。第一欄rate是每期利率，輸入0.03。第二欄Nper是付款期數，輸入20。第三欄Pv是年金現值，輸入10,000,000。然後按確定。會算出一樣的答案。
假如你要計畫退休投資計畫，和退休後每月可以用多少錢，這些計算是必要的。
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